三つの接空間の同値性

$p \in M$ とする。次の写像はいずれも全単射であり、$\Xi = \Theta \circ \Lambda$ が成り立つ。

1. $\Lambda : T^{\mathrm{c}}_pM \to T^{\mathrm{o}}_pM$, $\Lambda([\gamma]) = \big[(\varphi, (\varphi\circ\gamma)'(0))\big]$（$(U,\varphi)$ は $p$ を含む任意のチャート）。
2. $\Theta : T^{\mathrm{o}}_pM \to T^{\mathrm{d}}_pM$, $\Theta\big([(\varphi,v)]\big) = \sum_{i=1}^n v^i \left.\dfrac{\partial}{\partial x^i}\right|_p$。
3. $\Xi : T^{\mathrm{c}}_pM \to T^{\mathrm{d}}_pM$, $\Xi([\gamma])(f) = (f\circ\gamma)'(0)$。

さらに $\Theta$ は線形同型であり、$T^{\mathrm{c}}_pM$ に $\Xi$ で移した線形構造を入れれば三者はベクトル空間として同型である。以後これらを同一視し、$T_pM$ と書く。