数学 › 多様体論 › 接ベクトル空間と接バンドル

導分の空間の基底

定理 5.4（「接ベクトル空間と接バンドル」§5） ・ ✓公理まで証明済み

p∈Mp \in M、(U,φ)(U,\varphi) を pp を含むチャート、φ=(x1,…,xn)\varphi = (x^1,\ldots,x^n)、a=φ(p)a = \varphi(p) とする。各 ii について

∂∂xi∣p(f):=∂i(f∘φ−1)(a)(f∈Cp∞(M))\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p (f) := \partial_i\big(f \circ \varphi^{-1}\big)(a) \qquad (f \in C^{\infty}_p(M))

と定めると、∂/∂xi∣p∈TpdM\partial/\partial x^i|_p \in T^{\mathrm{d}}_pM であり、(∂/∂x1∣p,…,∂/∂xn∣p)\left(\partial/\partial x^1|_p, \ldots, \partial/\partial x^n|_p\right) は TpdMT^{\mathrm{d}}_pM の基底である。とくに dim⁡TpdM=n\dim T^{\mathrm{d}}_pM = n であり、任意の X∈TpdMX \in T^{\mathrm{d}}_pM は

X=∑i=1nX(xi)∂∂xi∣pX = \sum_{i=1}^{n} X(x^i)\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p

と一意に表される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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