管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

0. この記事の要点

曲面の上に輪ゴムを 1 本置いたとします。輪ゴムのまわりを少し太らせた帯は、どんな形をしているでしょうか。輪ゴムの各点から曲面に沿って横向きに短い線分を出して並べると、帯ができます。この記事は、そうして得られる近傍の形が一通りに決まること、また曲面の縁（境界）のまわりも同じようにきれいな帯になることを示します。さらに、輪ゴムを動かすとき、まわりの空間ごと一緒に動かせることも示します。読み終えると、多様体を切ったり貼ったりしても結果が選び方によらないことの理由を説明できます。

• 部分多様体 $Z\subset Y$ の法束（$Z$ に垂直な方向を各点に集めたもの）$\nu=TY|_Z/TZ$ は、$Z$ の $Y$ の中での近傍の形を完全に記述します。$\nu$ の全空間から $Y$ への、零切断（各ファイバーの原点を並べた $Z$ のコピー）を $Z$ に写す開埋め込み（管状近傍）が存在し、2 つの管状近傍は $Z$ を止めたイソトピーで移り合います。
• 境界付き多様体の境界は、$\partial X\times[0,1)$ と微分同相な近傍（カラー）を持ちます。境界で内向きのベクトル場を作り、その積分曲線に沿って境界を押し出します。
• コンパクトな部分のイソトピーは、全空間の微分同相の族（アンビエントイソトピー。空間全体を連続的に動かす操作）に拡張できます（イソトピー拡張定理）。イソトピーの速度を全空間のベクトル場に延ばして積分します。
• 連結な多様体の中で、有限個の点は自由に動かせ、向きを保つ円板の埋め込みはすべて互いにアンビエントイソトピックです（円板定理）。これにより連結和 $M_1\# M_2$ が微分同相を除いて定まります。
• 境界に沿った貼り合わせの滑らかな構造は、カラーの取り方によりません。
• 連続写像は滑らかな写像にホモトピックで、ホモトピックな滑らかな写像は滑らかにホモトピックです。滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類は一致します。

この記事で使う事前知識

• ベクトル束: 底空間の各点にベクトル空間（ファイバー）を、滑らかにつなげて貼り付けたもの。→ ベクトル束
• 横断性: 2 つの部分多様体が交わる点で、接空間が合わせて全体を張る、という交わり方。→ 横断性
• 滑らかなホモトピー・イソトピー: 写像を滑らかに連続変形する族と、その各時刻が埋め込みであるもの。→ 滑らかなホモトピー
• 積分曲線: ベクトル場を速度とする曲線。→ 積分曲線
• 埋め込み: 像の上で部分多様体として滑らかに埋まっている写像。→ 埋め込み
• コンパクト空間: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える空間。→ コンパクト空間

1. 動機

横断性 の記事では、写像を「少し動かす」ことで一般の位置に置きました。この記事では、動かす操作そのものを扱います。微分位相で多様体を切ったり貼ったりするとき、次の 3 つの問いが繰り返し現れます。

1. 部分多様体のまわりはどんな形をしているか。円周 $S^1$ が曲面の中にあるとき、その近傍は円柱か Möbius の帯のどちらかです。この違いを記録するのが法束で、「近傍は法束そのもの」というのが管状近傍定理です。
2. 境界のまわりはどんな形をしているか。答えは簡単で、いつでも $\partial X\times[0,1)$ です。これがあるので、2 つの多様体を境界で貼り合わせて滑らかな多様体を作れます。
3. 部分多様体を動かしたとき、まわりの空間ごと動かせるか。動かせるなら、「どの円板をくり抜くか」「どのカラーで貼るか」という選択は結果に影響しません。

3 つとも、証明の型は同じです。ベクトル場を作って流す。 局所的にはベクトル場は簡単に作れ、1 の分割で貼り合わせられます（微分同相は 1 の分割で貼り合わせられませんが、ベクトル場は足せます）。積分すれば微分同相の族が得られます。この記事では、この手法をカラーの構成で最初に見せ、イソトピー拡張・点の推移性・円板定理で繰り返します。

多様体は断らない限り滑らか・Hausdorff・第二可算で、写像は滑らかとします。

2. ベクトル束の補足

この節は、あとで使うベクトル束の道具（引き戻し・商束・ファイバー計量・ホモトピーに関する性質）を先に用意する準備です。主役の管状近傍は第 3 節から始まるので、証明が重いと感じたら、補題の主張だけ見て先へ進んでもかまいません。

ベクトル束は 定義 2.1［ファイバー束・主束と接続］ のとおりとし、この記事では実ベクトル束だけを扱います。直和（Whitney 和）$E\oplus E'$ は 定義 2.3［ファイバー束・主束と接続］ にあります。$U\subset M$ 上の滑らかな切断の組 $(s_1,\dots,s_r)$ で、各点で $E_x$ の基底になるものを $U$ 上の枠と呼びます。枠と局所自明化は $\Phi(\sum_iv^is_i(x))=(x,v)$ で 1 対 1 に対応します。2 つの枠 $(s^\alpha_i)$、$(s^\beta_j)$ の間の関係 $s^\beta_j=\sum_is^\alpha_i\,(g_{\alpha\beta})_{ij}$ が変換関数 $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to GL(r,\mathbb{R})$ です。同じ底空間上のベクトル束の間の滑らかな写像で、各ファイバーを対応するファイバーに線形同型に写すものを束同型といいます。

定義 2.1（引き戻し・部分束・商束・向き）↗

$\pi\colon E\to M$ を階数 $r$ のベクトル束とする。

1. 滑らかな写像 $f\colon N\to M$ に対し、$f^{*}E=\{(x,e)\in N\times E:f(x)=\pi(e)\}$ を $E$ の $f$ による引き戻しという。ファイバーは $(f^{*}E)_x=E_{f(x)}$ で、$E$ の $U_\alpha$ 上の枠 $(s_i)$ から $f^{-1}(U_\alpha)$ 上の枠 $(s_i\circ f)$ が得られ、変換関数は $g_{\alpha\beta}\circ f$ である。部分多様体 $Z\subset M$ の包含写像による引き戻しを $E|_Z$ と書く。
2. 部分集合 $F\subset E$ が階数 $k$ の部分束であるとは、各点のまわりに $E$ の枠 $(s_1,\dots,s_r)$ で、$s_1(x),\dots,s_k(x)$ が $F_x=F\cap E_x$ の基底になるもの（$F$ に適合した枠）があることをいう。$E/F=\bigsqcup_xE_x/F_x$ を商束という。
3. $E$ の向きとは、各ファイバー $E_x$ の向きの選択で、各点のまわりに、すべての点で正の基底を与える枠があるものをいう。向きを持つ束を向き付け可能という。

次の補題が言いたいのは、商束 $E/F$ が本当にベクトル束になる（局所自明化を持つ）ということです。$F$ に適合した枠を取ると変換関数がブロック上三角の形になり、右下のブロックがそのまま商束の変換関数になります。

補題 2.2（引き戻し・部分束・商束はベクトル束）✓

定義 2.1 の $f^{*}E$、$F$、$E/F$ は、そこに述べた枠を局所自明化としてベクトル束になる（階数はそれぞれ $r$、$k$、$r-k$）。包含 $F\to E$ と射影 $E\to E/F$ は滑らかで、ファイバーごとに線形である。また $(g\circ f)^{*}E=f^{*}(g^{*}E)$ である。

証明（補題 2.2）

$E$ の変換関数 $g_{\alpha\beta}$ はコサイクル条件 $g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}$ を満たします。

引き戻し：$g_{\alpha\beta}\circ f$ は開被覆 $\{f^{-1}(U_\alpha)\}$ の上の滑らかなコサイクルなので、命題 2.2［ファイバー束・主束と接続］（$G=GL(r,\mathbb{R})$、ファイバー $\mathbb{R}^r$）によりベクトル束を定め、その $x$ 上のファイバーは枠 $(s_i\circ f)$ を通して $E_{f(x)}$ と同一視されます。$(g\circ f)^{*}E$ と $f^{*}(g^{*}E)$ はどちらもコサイクル $g_{\alpha\beta}\circ g\circ f$ で定まり、ファイバーはどちらも $E_{g(f(x))}$ です。

部分束と商束：適合した枠 $(s^\alpha_i)$、$(s^\beta_j)$ の間の変換関数は、$j\le k$ のとき $s^\beta_j(x)\in F_x=\operatorname{span}(s^\alpha_1,\dots,s^\alpha_k)$ なので

$$g_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}a_{\alpha\beta}&b_{\alpha\beta}\\0&d_{\alpha\beta}\end{pmatrix}$$

というブロック上三角の形です。コサイクル条件の対角ブロックを見ると $a_{\alpha\beta}a_{\beta\gamma}=a_{\alpha\gamma}$、$d_{\alpha\beta}d_{\beta\gamma}=d_{\alpha\gamma}$ で、同じ命題により $\{a_{\alpha\beta}\}$ は枠 $(s_1,\dots,s_k)$ を持つ階数 $k$ の束（ファイバー $F_x$）を、$\{d_{\alpha\beta}\}$ は枠 $([s_{k+1}],\dots,[s_r])$ を持つ階数 $r-k$ の束（ファイバー $E_x/F_x$）を定めます。これらの枠に関して、包含は $v\mapsto(v,0)$、射影は $(v,w)\mapsto w$ と表されるので滑らかです。

∎

補題 2.3（ファイバー計量と直交補束）✓

$E\to M$ をベクトル束とする。

1. $E$ はファイバー計量（各ファイバーの内積 $\langle\ ,\ \rangle_x$ で、滑らかな切断 $s,s'$ に対し $x\mapsto\langle s(x),s'(x)\rangle_x$ が滑らかなもの）を持つ。
2. ファイバー計量を 1 つ決める。部分束 $F\subset E$ に対し $F^{\perp}=\bigsqcup_x(F_x)^{\perp}$ は部分束で、$(u,w)\mapsto u+w$ は束同型 $F\oplus F^{\perp}\to E$、射影の制限 $F^{\perp}\to E/F$ は束同型である。したがって $E\cong F\oplus E/F$ である（短完全列 $0\to F\to E\to E/F\to0$ は分裂する）。
3. 各点のまわりに、各点で正規直交基底になる枠（正規直交枠）がある。

証明（補題 2.3）

1. 局所自明化 $\Phi_\alpha$ のある開被覆 $\{U_\alpha\}$ に従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$（定理 6.3［部分多様体と正則値定理］）を取り、$\langle e,e'\rangle_x=\sum_j\rho_j(x)\langle\Phi_{\alpha(j)}e,\Phi_{\alpha(j)}e'\rangle_{\mathbb{R}^r}$ とおきます。非負の係数で少なくとも 1 つが正の内積の和なので正定値で、局所有限和なので滑らかです。

2・3. $F$ に適合した枠 $(s_1,\dots,s_r)$ に Gram–Schmidt の直交化（定理 6.1［内積空間とグラム・シュミット直交化］）を各点で施して $(e_1,\dots,e_r)$ を作ります。漸化式は内積・和・$0$ でないノルムによる割り算だけからなるので、$e_i$ は滑らかな切断です。同じ定理の (2) から $\operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)=F_x$ で、正規直交性から $\operatorname{span}(e_{k+1},\dots,e_r)=(F_x)^\perp$ です。$F=0$ の場合が 3 です。枠 $(e_{k+1},\dots,e_r,e_1,\dots,e_k)$ は $F^\perp$ に適合しているので $F^\perp$ は部分束です。枠 $(e_i)$ に関して、$F\oplus F^\perp\to E$ と $F^\perp\to E/F$ はどちらも単位行列で表されるので、束同型です。

∎

次の補題は、ベクトル束が底空間のホモトピー型にしか依存しないことを述べます。法束の計算（たとえば円板上の束は自明）で使います。

補題 2.4（ホモトピックな写像による引き戻しは同型）✓

$N$ を境界のない多様体とする。

1. $E\to N\times\mathbb{R}$ をベクトル束、$i_t\colon N\to N\times\mathbb{R}$ を $i_t(x)=(x,t)$ とすると、$i_0^{*}E\cong i_1^{*}E$ である。
2. $E\to M$ をベクトル束、$f_0,f_1\colon N\to M$ を滑らかにホモトピックな写像とすると、$f_0^{*}E\cong f_1^{*}E$ である。

証明（補題 2.4）

1。 $E$ の全空間（境界のない多様体）の上に、次の 2 つを満たすベクトル場 $\xi$ を作ります。(a) $d\pi(\xi)=\partial/\partial t$。(b) $E$ のどの局所自明化 $U\times\mathbb{R}^r\ni((x,t),v)$ でも、$\xi=\partial_t+\sum_i(A(x,t)v)^i\partial_{v^i}$（$A$ は滑らかな行列値関数）の形をしている。

局所自明化 $\Phi_\alpha$ の定義域の被覆 $\{U_\alpha\}$ に従属する $N\times\mathbb{R}$ の 1 の分割 $\{\rho_j\}$ を取り、$\xi_j$ を $\Phi_{\alpha(j)}$ の座標 $((x,t),v_j)$ での $\partial_t$（$\pi^{-1}(U_{\alpha(j)})$ 上のベクトル場）とし、$\xi=\sum_j(\rho_j\circ\pi)\xi_j$ とおきます。別の自明化 $\Phi_\alpha$ の座標 $v=g_{\alpha\alpha(j)}(x,t)v_j$ で見ると、$v_j$ を止めて $t$ を動かす方向は $\partial_t+(\partial_tg_{\alpha\alpha(j)})v_j\,\partial_v=\partial_t+\bigl((\partial_tg_{\alpha\alpha(j)})g_{\alpha\alpha(j)}^{-1}v\bigr)\partial_v$ なので、$\xi_j$ は (a)(b) を満たし、$\sum_j\rho_j=1$ から $\xi$ も (a)(b) を満たします（$A=\sum_j\rho_j(\partial_tg_{\alpha\alpha(j)})g_{\alpha\alpha(j)}^{-1}$）。

$e\in E_{(x,0)}$ を始点とする $\xi$ の極大積分曲線 $\gamma$（定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）を考えます。(a) から $\pi(\gamma(t))=(x,t)$ です。定義域の上端 $T$ が $T\le1$ だったとします。$(x,T)$ のまわりの自明化 $U\times\mathbb{R}^r$ で、$\gamma(t)=((x,t),v(t))$、$v'=A(x,t)v$ です。これは $T$ を含む開区間上の連続な係数を持つ線形常微分方程式なので、解 $v$ はその区間全体に延び（定理 2.1［線形微分方程式系］）、$\gamma$ が $T$ を越えて延びて極大性に反します。よって $\gamma$ は $[0,1]$ で定義され、$\xi$ の流れ $\theta$ について $\theta_1$ は $E|_{N\times\{0\}}$ の近傍で定義された滑らかな写像で、$E_{(x,0)}$ を $E_{(x,1)}$ に写します。$[0,1]$ を有限個の自明化の区間に分けると、各区間で $v(t)$ は初期値に線形に依存し、初期値への対応は同型です（同じ定理）。よって $\theta_1\colon E_{(x,0)}\to E_{(x,1)}$ は線形同型で、$\theta_1$ の制限は束同型 $i_0^{*}E\to i_1^{*}E$ です（逆は $\theta_{-1}$）。

2。 ホモトピー $H\colon N\times[0,1]\to M$ に対し、滑らかな $\chi\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ で $t\le\tfrac14$ のとき $\chi=0$、$t\ge\tfrac12$ のとき $\chi=1$ となるもの（補題 9.2［横断性］ の証明の $\chi$）を使って $\tilde H(x,t)=H(x,\chi(t))$ とおくと、$\tilde H\colon N\times\mathbb{R}\to M$ は滑らかで $\tilde H\circ i_0=f_0$、$\tilde H\circ i_1=f_1$ です。1 を $\tilde H^{*}E$ に使い、補題 2.2 の $(\tilde H\circ i_t)^{*}E=i_t^{*}\tilde H^{*}E$ から $f_0^{*}E\cong f_1^{*}E$ です。

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系 2.5（可縮な底空間上の束は自明）✓

$N$ を境界のない多様体とし、恒等写像が定値写像 $c\colon N\to\{p\}\subset N$ に滑らかにホモトピックであるとする（たとえば $\mathbb{R}^n$ の星形の開集合）。このとき $N$ 上のベクトル束 $E$ はすべて自明束 $N\times\mathbb{R}^r$ に同型である。

証明（系 2.5）

補題 2.4 (2) により $E=\mathrm{id}^{*}E\cong c^{*}E$ です。$c^{*}E=\{(x,e):e\in E_p\}=N\times E_p$ は自明束です。星形の開集合 $N\subset\mathbb{R}^n$（中心 $p$）では $H(x,t)=p+(1-t)(x-p)$ がホモトピーを与えます。

∎

3. 法束と管状近傍

定義 3.1（法束と管状近傍）↗

$Y$ を境界のない多様体、$Z\subset Y$ を境界のない部分多様体とする。

1. $TZ$ は $TY|_Z$ の部分束である（$Z$ のスライスチャート $(x^1,\dots,x^m)$、$Z=\{x^{l+1}=\dots=x^m=0\}$ に対し、枠 $(\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^m)$ が適合している）。商束 $$\nu(Z\subset Y)=TY|_Z/TZ$$ を $Z$ の $Y$ における法束という。階数は $\operatorname{codim}Z$ である。
2. $Z$ 上のベクトル束 $p\colon E\to Z$ と、$E$ の全空間から $Y$ の開集合への微分同相 $\varphi\colon E\to\varphi(E)\subset Y$ で、零切断の上で $\varphi(0_z)=z$ となるものの組 $(E,\varphi)$ を $Z$ の管状近傍という。像 $\varphi(E)$ のことも管状近傍と呼ぶ。

管状近傍 $(E,\varphi)$ があると、$E$ は自動的に法束に同型です。零切断の点 $0_z$ で $T_{0_z}E=T_zZ\oplus E_z$（零切断の方向とファイバーの方向）で、$d\varphi_{0_z}$ は $T_zZ$ の上で恒等写像、全体として同型なので、$E_z\to T_zY\to T_zY/T_zZ=\nu_z$ は同型です。$Y$ に Riemann 計量があれば、補題 2.3 により $\nu\cong(TZ)^{\perp}\subset TY|_Z$ で、法束を「$Z$ に直交する接ベクトルの束」として実現できます。

存在証明のために、局所的な単射性を零切断の近傍での単射性に上げる補題と、零切断の近傍を一定の形に縮める補題を用意します。この 2 つは 定理 4.2 でも使う型の議論です。

次の補題の証明は不等式が続きますが、言いたいことは単純です。「各点の近くでは単射」で、しかも「$Z_0$ の上では単射で逆も連続」なら、$Z_0$ の十分小さい近傍全体でも単射になる、ということです。不等式は、近傍の大きさを点ごとに小さく取り直すためのものです。

円周 Z（太線）のまわりの管状近傍。各点から $Z$ に垂直な短い線分（ファイバー）を出し、並べると帯になる。

補題 3.2（部分集合の近くでの単射性）✓

$P,Q$ を距離空間、$Z_0\subset P$ を部分集合、$h\colon P\to Q$ を連続写像とし、次を仮定する。

• (i) $Z_0$ の各点は、$h$ がその上で単射であるような開近傍を持つ。
• (ii) $h|_{Z_0}$ は単射で、逆写像 $h(Z_0)\to Z_0$ は連続である。

このとき、$Z_0$ を含む $P$ の開集合 $U$ で、$h|_U$ が単射であるものが存在する。

証明（補題 3.2）

$B(z,\delta)$ で開球を表します。$z\in Z_0$ に対し $\rho(z)=\sup\{\delta\in(0,1]:h\text{ は }B(z,\delta)\text{ 上で単射}\}$ とおくと、(i) から $\rho(z)>0$ で、$B(z',\delta-d(z,z'))\subset B(z,\delta)$ から $|\rho(z)-\rho(z')|\le d(z,z')$ です。(ii) から、各 $z\in Z_0$ に対し $\sigma(z)>0$ で

$$z'\in Z_0,\ d\bigl(h(z),h(z')\bigr)<\sigma(z)\ \Longrightarrow\ d(z,z')<\tfrac14\rho(z)$$

となるものがあります。$h$ の連続性から、$\varepsilon(z)\in(0,\tfrac14\rho(z)]$ を $h(B(z,\varepsilon(z)))\subset B(h(z),\tfrac12\sigma(z))$ となるように取り、$U=\bigcup_{z\in Z_0}B(z,\varepsilon(z))$ とおきます。

$p\in B(z,\varepsilon(z))$、$p'\in B(z',\varepsilon(z'))$、$h(p)=h(p')$ とし、$\sigma(z)\ge\sigma(z')$ とします。$d(h(z),h(z'))\le d(h(z),h(p))+d(h(p'),h(z'))<\tfrac12\sigma(z)+\tfrac12\sigma(z')\le\sigma(z)$ なので $d(z,z')<\tfrac14\rho(z)$ です。すると $\rho(z')\le\rho(z)+d(z,z')<\tfrac54\rho(z)$、$\varepsilon(z')\le\tfrac14\rho(z')<\tfrac5{16}\rho(z)$ で、

$$d(p',z)\le d(p',z')+d(z',z)<\tfrac5{16}\rho(z)+\tfrac14\rho(z)<\rho(z),\qquad d(p,z)<\tfrac14\rho(z)$$

です。$\rho(z)$ に十分近い $\delta<\rho(z)$ について $p,p'\in B(z,\delta)$ で、$h$ は $B(z,\delta)$ 上で単射なので $p=p'$ です。

∎

補題 3.3（零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む）✓

$E\to Z$ をファイバー計量を持つベクトル束、$O$ を零切断を含む $E$ の開集合とする。滑らかな関数 $\delta\colon Z\to(0,\infty)$ で、$\{v\in E:|v|<\delta(p(v))\}\subset O$ となるものが存在する。$Z$ がコンパクトなら $\delta$ は定数に取れる。

証明（補題 3.3）

$z_0\in Z$ のコンパクトな近傍 $K$ で、その上に正規直交枠（補題 2.3 (3)）があるものを取ります。枠による自明化で $S_K=\{v\in E|_K:|v|\le1\}$ は $K\times$（閉単位球）に対応するのでコンパクトです。連続写像 $S_K\times[0,\infty)\to E$、$(v,t)\mapsto tv$ による $O$ の逆像は $S_K\times\{0\}$ を含む開集合なので、管の補題（補題 2.3［横断性］）から $\delta_K>0$ があって、$t<\delta_K$、$v\in S_K$ なら $tv\in O$、すなわち $\{v\in E|_K:|v|<\delta_K\}\subset O$ です。

このような $K$ の内部は $Z$ を覆います。それに従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$（$\operatorname{supp}\rho_j\subset\operatorname{int}K_{(j)}$）を取り、$\delta=\sum_j\rho_j\delta_{K_{(j)}}$ とおきます。$z\in Z$ で $\rho_j(z)>0$ となる有限個の $j$ のうち $\delta_{K_{(j)}}$ が最大のものを $j_0$ とすると、$\delta(z)\le\delta_{K_{(j_0)}}$ かつ $z\in K_{(j_0)}$ なので、$|v|<\delta(z)$ なら $v\in O$ です。$Z$ がコンパクトなら有限個の $K$ で覆い、$\delta_K$ の最小値を取ります。

∎

次の定理の証明の方針です。法束は商束 $TY|_Z/TZ$ なので、そのままでは「$Z$ の点に法ベクトルを足して $Y$ の点を得る」という操作が書けません。そこで $Y$ を $\mathbb{R}^N$ の中に置いて、法束を $Z$ に直交する接ベクトルの束として実現します。こうすると $z+v$ という足し算が意味を持ち、これを $Y$ に射影し直した写像 $h$ が零切断の近くで微分同相になることを示します。$Y$ を $\mathbb{R}^N$ に置くために Whitney の埋め込み定理を使います。

定理 3.4（管状近傍の存在）✓

$Y$ を境界のない多様体、$Z\subset Y$ を境界のない部分多様体とする。$Z$ の管状近傍 $(\nu(Z\subset Y),\varphi)$ が存在する。すなわち、法束の全空間から $Y$ の中の $Z$ の開近傍への微分同相 $\varphi$ で、零切断の上で恒等写像になるものがある。

証明（定理 3.4）

$m=\dim Y$、$l=\dim Z$、$k=m-l$ とします。

第 1 段：法束のモデル。 定理 8.3［横断性］ により $Y$ を $\mathbb{R}^N$ の部分多様体とみなし、$T_yY\subset\mathbb{R}^N$ とします。

$$N(Z;Y)=\{(z,v)\in Z\times\mathbb{R}^N:v\in T_zY,\ \langle v,a\rangle=0\ (a\in T_zZ)\}$$

とおきます。$z_0\in Z$ のまわりの $Y$ のスライスチャート $(x^1,\dots,x^m)$ を取ると、$\partial/\partial x^i$ は $z_0$ の $Z$ での近傍 $U$ 上の $\mathbb{R}^N$ 値の滑らかな関数で、各点で $T_zY$ の基底、最初の $l$ 個は $T_zZ$ の基底です。$\mathbb{R}^N$ の内積で Gram–Schmidt の直交化をして、最後の $k$ 個を $e_1,\dots,e_k\colon U\to\mathbb{R}^N$ とすると、これらは各点で $T_zY\cap(T_zZ)^\perp$ の正規直交基底です。

$$\Psi\colon U\times\mathbb{R}^k\to N(Z;Y),\qquad \Psi(z,c)=\Bigl(z,\ \sum_ic_ie_i(z)\Bigr)$$

は $N(Z;Y)\cap(U\times\mathbb{R}^N)$ への全単射で、$U\times\mathbb{R}^N$ 上の滑らかな写像 $(z,w)\mapsto(z,(\langle w,e_i(z)\rangle)_i)$ を左逆に持ちます。したがって $\Psi$ は埋め込みで、定理 5.3［部分多様体と正則値定理］ (1) により $N(Z;Y)$ は $\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^N$ の $l+k=m$ 次元の部分多様体、$\Psi^{-1}$ を局所自明化として $Z$ 上の階数 $k$ のベクトル束です。これは $TY|_Z$ の中の $(TZ)^\perp$ にほかならず、補題 2.3 (2) により $\nu(Z\subset Y)$ に同型です。$N(Z;Y)$ には $|(z,v)|=|v|$ でファイバー計量が入ります。

第 2 段：写像 $h$。 定理 7.3［横断性］ の開集合 $Y^\varepsilon\supset Y$ と沈め込み $\pi\colon Y^\varepsilon\to Y$（$\pi|_Y=\mathrm{id}$）を取ります。$O_1=\{(z,v)\in N(Z;Y):z+v\in Y^\varepsilon\}$ は零切断を含む開集合で、

$$h\colon O_1\to Y,\qquad h(z,v)=\pi(z+v)$$

は滑らかで $h(z,0)=z$ です。$h\circ\Psi(z,c)=\pi(z+\sum_ic_ie_i(z))$ の $(z,0)$ での微分は、$\pi|_Y=\mathrm{id}$ から $d\pi_z$ が $T_zY$ の上で恒等写像なので

$$T_zZ\times\mathbb{R}^k\ni(a,c)\longmapsto a+\sum_ic_ie_i(z)\in T_zZ\oplus\bigl(T_zY\cap(T_zZ)^\perp\bigr)=T_zY$$

で、同型です。よって $dh$ が同型であるような点の全体 $O_2\subset O_1$ は零切断を含む開集合で、$h$ は $O_2$ の各点の近傍で局所微分同相です（系 2.2［部分多様体と正則値定理］）。

第 3 段：零切断の近くで単射。 補題 3.2 を $P=O_2$（$\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^N$ の距離）、$Q=Y$（$\mathbb{R}^N$ の距離）、$Z_0=$ 零切断に使います。(i) は第 2 段、(ii) は $h(z,0)=z$ の逆 $z\mapsto(z,0)$ が連続であることです。零切断を含む開集合 $O_3\subset O_2$ で $h|_{O_3}$ が単射なものが得られ、$h|_{O_3}$ は単射な局所微分同相なので $Y$ の開集合への微分同相です。

第 4 段：全空間に広げる。 補題 3.3 により滑らかな $\delta\colon Z\to(0,\infty)$ で $\{|v|<\delta(z)\}\subset O_3$ となるものを取り、

$$\varphi\colon N(Z;Y)\to Y,\qquad \varphi(z,v)=h\Bigl(z,\ \frac{\delta(z)}{(1+|v|^2)^{1/2}}\,v\Bigr)$$

とおきます。$(z,v)\mapsto(z,\delta(z)v/(1+|v|^2)^{1/2})$ は $N(Z;Y)$ から $\{|v|<\delta(z)\}$ への微分同相（逆は $w\mapsto w/(\delta(z)^2-|w|^2)^{1/2}$）なので、$\varphi$ は開集合への微分同相で、$\varphi(z,0)=z$ です。第 1 段の同型 $\nu(Z\subset Y)\cong N(Z;Y)$ と合成して定理を得ます。

∎

注意 3.5（指数写像による構成）

$Y$ に Riemann 計量を入れ、$h(z,v)=\exp_z(v)$（定義 2.3［測地線と完備性］）としても同じ証明が通ります。$d(\exp_z)_0=\mathrm{id}$（命題 2.4［測地線と完備性］）が第 2 段の微分の計算に当たります。この構成では管状近傍のファイバーが $Z$ に直交する測地線になり、Riemann 幾何ではこちらが標準です。上の証明は測地線を使わず、$\mathbb{R}^N$ の直線と最近点への射影で済ませています。

例 3.6（管状近傍の例）

(a) $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$。$T_zS^n=z^\perp$ なので法束は $\{(z,cz)\}\cong S^n\times\mathbb{R}$ で自明です。$\varphi(z,c)=e^{c}z$ は $S^n\times\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ への微分同相で、零切断を $S^n$ に写す管状近傍です。

(b) Möbius の帯 $M=([0,1]\times\mathbb{R})/((0,s)\sim(1,-s))$ の中心円 $Z=\{s=0\}$。$M$ 自身が $Z\cong S^1$ 上の階数 $1$ のベクトル束（射影は $[t,s]\mapsto[t]$）で、恒等写像が管状近傍です。この束は自明ではありません。自明なら零にならない切断があり、$M\setminus Z$ は 2 つの成分に分かれますが、$M\setminus Z$ は連結です（$s>0$ の部分と $s<0$ の部分が $t=0,1$ で貼り合う）。したがって円周の近傍には、円柱 $S^1\times\mathbb{R}$ と Möbius の帯の 2 種類が実際に現れます。

(c) $\mathbb{R}P^{n-1}\subset\mathbb{R}P^n$（$x_n=0$）。$\mathbb{R}P^n\setminus\{[0:\dots:0:1]\}\to\mathbb{R}P^{n-1}$、$[x_0:\dots:x_n]\mapsto[x_0:\dots:x_{n-1}]$ のファイバーは、直線 $\ell=[x_0:\dots:x_{n-1}]$ 上の線形形式 $x\mapsto x_n$（$x$ のスカラー倍に対して同じ倍率で変わる）、すなわち $\ell^{*}$ の元と 1 対 1 に対応します。よって $\mathbb{R}P^n$ から 1 点を除いたものは $\mathbb{R}P^{n-1}$ 上の直線束（同語反復的な直線束の双対）の全空間で、これが $\mathbb{R}P^{n-1}$ の管状近傍、その束が法束です。$n=2$ では (b) の Möbius の帯になります。

(d) 向き付けられた 3 次元多様体 $Y$ の中の結び目（埋め込まれた円周）$K$。法束 $\nu$ は $S^1$ 上の階数 $2$ の束で、$TY|_K=TK\oplus\nu$ と $TK$ の向きから $\nu$ は向き付け可能です。$S^1$ から 1 点を除いた開区間上では $\nu$ は自明で（系 2.5）、$\nu$ は自明束 $[0,1]\times\mathbb{R}^2$ の両端を $g\in GL_2^{+}(\mathbb{R})$ で貼り合わせたものです。$GL_2^{+}(\mathbb{R})$ は弧状連結なので（補題 3.1［Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理］）、$g$ を単位行列に結ぶ道で枠を補正すると $\nu\cong S^1\times\mathbb{R}^2$ です。よって結び目の（閉じた）管状近傍はソリッドトーラス $S^1\times D^2$ です。

この定理は、2 つの管状近傍が「ファイバーを回して伸ばし縮みさせる」だけの違いしかないことを述べます。証明の中心は、$g(tv)/t$ という操作（Alexander の技巧）です。$g$ は零切断を止めるので、$tv$ が原点に近いほど $g(tv)$ は微分 $dg$ による線形近似 $t\,dg(v)$ にほぼ等しくなり、$t$ で割ると $t\to0$ で線形写像 $dg(v)$ に近づきます。これで非線形な $g$ から束同型 $\lambda$ に至る滑らかな道が得られます。

定理 3.7（管状近傍の一意性）✓

$Y,Z$ を 定理 3.4 のとおりとし、$(E_0,\varphi_0)$、$(E_1,\varphi_1)$ を $Z$ の 2 つの管状近傍とする。このとき束同型 $\lambda\colon E_0\to E_1$ と滑らかな写像 $F\colon E_0\times[0,1]\to Y$ で、次を満たすものが存在する。

1. 各 $t$ について $(E_0,F_t)$ は $Z$ の管状近傍である（$F_t$ は開集合への微分同相で、零切断の上で $F_t(0_z)=z$）。
2. $F_0=\varphi_0$、$F_1=\varphi_1\circ\lambda$。

とくに $F_1(E_0)=\varphi_1(E_1)$ である。

証明（定理 3.7）

$E_0$ にファイバー計量を入れます（補題 2.3）。

第 1 段：$\varphi_0$ の像を $\varphi_1$ の像の中に縮める。 $\varphi_0^{-1}(\varphi_1(E_1))$ は $E_0$ の零切断を含む開集合なので、補題 3.3 により滑らかな $\delta>0$ で $\varphi_0(\{|v|<\delta\})\subset\varphi_1(E_1)$ となるものがあります。$t\in[0,1]$ に対し

$$G_t\colon E_0\to E_0,\qquad G_t(v)=\Bigl((1-t)+\frac{t\,\delta(z)}{(1+|v|^2)^{1/2}}\Bigr)v\quad(v\in(E_0)_z)$$

とおきます。各ファイバーで $G_t$ は半径 $r=|v|$ を $r\bigl((1-t)+t\delta(1+r^2)^{-1/2}\bigr)$ に変える放射状の写像で、この関数の $r$ 微分は $(1-t)+t\delta(1+r^2)^{-3/2}>0$ なので、$G_t$ は開集合への微分同相です。$G_0=\mathrm{id}$、$G_1(E_0)=\{|v|<\delta\}$ です。$\varphi_0\circ G_t$ は $\varphi_0$ から $\varphi_0\circ G_1$ への、管状近傍を通る滑らかな族です。

第 2 段：Alexander の技巧。 $g=\varphi_1^{-1}\circ\varphi_0\circ G_1\colon E_0\to E_1$ は開集合への微分同相で、$g(0_z)=0_z$ です。

$$H\colon E_0\times[0,1]\to E_1,\qquad H(v,t)=\frac1t\,g(tv)\ (t>0),\qquad H(v,0)=\lim_{t\to0}\frac1t\,g(tv)$$

と定め、$H$ が滑らかで、$\lambda=H(\cdot,0)$ が束同型であることを示します。

$v_0\in(E_0)_{z_0}$ とします。$z_0$ のまわりで $E_0,E_1$ を自明化し（底空間は $Z$ の同じチャート $U$）、$g(z,w)=(a(z,w),b(z,w))$ と書きます（$a(z,0)=z$、$b(z,0)=0$）。$(v,t,s)\mapsto stv$ による「$g$ の像が $E_1|_U$ に入る点の集合」の逆像は $\{(v_0,0)\}\times[0,1]$ を含む開集合なので、管の補題から、$(v_0,0)$ の近傍の $(v,t)$ とすべての $s\in[0,1]$ について $g(stv)\in E_1|_U$ です。この近傍で、$v=(z,w)$、$t\ne0$ について

$$\frac1t\,b(z,tw)=\frac1t\int_0^1\frac{d}{ds}b(z,stw)\,ds=\int_0^1\partial_wb(z,stw)\,w\,ds$$

で、右辺は $t=0$ を含めて $(z,w,t)$ の滑らかな関数です。したがって $H(v,t)=\bigl(a(z,tw),\int_0^1\partial_wb(z,stw)w\,ds\bigr)$ は $(v_0,0)$ の近傍で滑らかで、$H(v,0)=(z,\partial_wb(z,0)w)$ は $w$ について線形です。$t\ne0$ では $H$ は滑らかな写像の合成です。$g$ は局所微分同相なので $(z,0)$ での Jacobi 行列 $\begin{pmatrix}I&\partial_wa\\0&\partial_wb\end{pmatrix}$ は正則、したがって $\partial_wb(z,0)$ は正則で、$\lambda$ は束同型です。

$t>0$ のとき $H_t$ は、$t$ 倍（$E_0$ の微分同相）、$g$、$1/t$ 倍（$E_1$ の微分同相）の合成なので開集合への微分同相で、$H_t(0_z)=0_z$ です。よって $\varphi_1\circ H_t$ はすべての $t\in[0,1]$ で管状近傍で、$t=1$ で $\varphi_0\circ G_1$、$t=0$ で $\varphi_1\circ\lambda$ です。

第 3 段：つなぐ。 $\chi$ を 補題 2.4 の証明の関数とし、$t\le\tfrac12$ で $F_t=\varphi_0\circ G_{\chi(2t)}$、$t\ge\tfrac12$ で $F_t=\varphi_1\circ H_{1-\chi(2t-1)}$ とおきます。$t=\tfrac12$ の近く（$\tfrac14\le t\le\tfrac58$）ではどちらも $\varphi_0\circ G_1$ に等しいので $F$ は滑らかで、1・2 を満たします。

∎

4. 境界のカラー近傍

定義 4.1（カラー）↗

$X$ を境界付き多様体とする。$\partial X\times[0,1)$ から $X$ の開集合への微分同相 $c$ で、$c(x,0)=x$（$x\in\partial X$）となるものを $\partial X$ のカラー（襟）という。

境界点 $p$ での接ベクトル $v\in T_pX$ は、境界チャート $(x^1,\dots,x^n)$（$x^n\ge0$）で $dx^n(v)>0$ のとき内向きといいます（定義 4.5［ストークスの定理］ の外向きの反対で、チャートによりません）。境界付き多様体の上のベクトル場の積分曲線は、境界チャートの中では、ベクトル場を $\mathbb{R}^n$ の開集合に滑らかに延ばしたものの積分曲線として扱います。

次の定理の証明の方針です。境界のすべての点で内側を向くベクトル場を 1 つ作り、境界の各点から出発して、そのベクトル場に沿って少しだけ流します。内向きなので出発直後から多様体の内側に入り、境界から離れた点を一度ずつ通るので、軌跡の全体が $\partial X\times[0,1)$ の形の帯になります。内向きであることが効くのは、流れが境界の外に出ないことと、軌跡が重ならないこと（証明の第 3 段）です。

定理 4.2（カラー近傍の存在と一意性）✓

$X$ を境界付き多様体とする。

1. $\partial X$ のカラーが存在する。
2. $\partial X$ がコンパクトで、$c_0,c_1$ が 2 つのカラーならば、$\varepsilon\in(0,1)$ と滑らかな写像 $C\colon\partial X\times[0,\varepsilon)\times\mathbb{R}\to X$ で次を満たすものが存在する。$(x,t,s)\mapsto(C(x,t,s),s)$ は $X\times\mathbb{R}$ の開集合への微分同相で、$C(x,0,s)=x$、$s\le\tfrac14$ で $C(\cdot,\cdot,s)=c_0$、$s\ge\tfrac12$ で $C(\cdot,\cdot,s)=c_1$（どちらも $t<\varepsilon$ への制限）。すなわち 2 つのカラーは、境界の近くで、カラーの滑らかな族で結べる。

証明（定理 4.2）

第 1 段：内向きのベクトル場。 $X$ をチャートで覆い、従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$ を取ります（補題 2.1［横断性］ (2)）。境界チャートでは $V_j=\partial/\partial x^n$、境界と交わらないチャートでは $V_j=0$ とし、$V=\sum_j\rho_jV_j$ とおきます。$p\in\partial X$ では、$\rho_j(p)>0$ となる $j$ はすべて境界チャートで、内向きであることはチャートによらないので、任意の境界チャートで $dx^n(V_p)=\sum_j\rho_j(p)\,dx^n(V_j)>0$ です。$V$ は $\partial X$ の各点で内向きです。

第 2 段：積分曲線で押し出す。 $x_0\in\partial X$ のまわりの境界チャートで、$V$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合上のベクトル場 $\tilde V$ に延ばし、その局所的な流れ $\Phi(t,u)$（定理 2.3［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ (1)）を取ります。$\partial\mathbb{H}^n$ の点 $u$ に対し $\kappa(u,t)=\Phi(t,u)$ とおくと、$(u_0,0)$ での微分は $\partial\mathbb{H}^n$ の方向で恒等写像、$t$ の方向で $\tilde V(u_0)$ です。$\tilde V(u_0)$ の第 $n$ 成分は正なので、これは同型で、逆関数定理（定理 2.1［部分多様体と正則値定理］）により $\kappa$ は $(u_0,0)$ の近傍から $u_0$ の近傍への微分同相です。$\kappa(u,t)$ の第 $n$ 成分は $t=0$ で $0$、$t$ 微分が $(u_0,0)$ の近傍で正なので、その符号は $t$ の符号と一致します。したがって $\kappa$ は $t\ge0$ の部分を $\mathbb{H}^n$ の中の $u_0$ の近傍に同相に写します。チャートで $X$ に戻して、$x_0$ の $\partial X$ での近傍 $U_{x_0}$、$\delta_{x_0}>0$、写像 $c\colon U_{x_0}\times[0,\delta_{x_0})\to X$ で、$c(x,0)=x$、$t\mapsto c(x,t)$ が $V$ の積分曲線、$c$ が $X$ の開集合への微分同相であるものを得ます。

$X$ の中の $V$ の積分曲線 $\gamma_1,\gamma_2\colon[0,T]\to X$ が 1 点 $t_0$ で一致すれば全体で一致します。一致する $t$ の集合は閉集合で、チャートの中での一意性（定理 2.3［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ (2)）から開集合でもあるからです。よって各点のまわりの $c$ は重なりで一致し、$\partial X\times\{0\}$ を含む $\partial X\times[0,\infty)$ の開集合 $W=\bigcup_{x_0}U_{x_0}\times[0,\delta_{x_0})$ の上の滑らかな写像 $c\colon W\to X$ が定まります。$c$ は $W$ の各点の近傍で、$X$ の開集合への微分同相です。

第 3 段：単射性。 $c(x,t)=c(x',t')=p$、$t\le t'$ とします。$\gamma(s)=c(x',s)$（$0\le s\le t'$）は $X$ の中の積分曲線で $\gamma(t')=p$、$s\mapsto c(x,s-(t'-t))$（$t'-t\le s\le t'$）も $s=t'$ で $p$ を通る積分曲線なので、一意性から $\gamma(t'-t)=c(x,0)=x\in\partial X$ です。$t'-t>0$ とすると、境界チャートで $\gamma$ の第 $n$ 成分は $s=t'-t$ で $0$、そこでの微分は $dx^n(V_x)>0$ なので、少し手前の $s$ で負になり、$\gamma$ が $X$ の中にあることに反します。よって $t=t'$ で、$x=\gamma(0)=x'$ です。$c$ は単射な局所微分同相なので、$W$ から $X$ の開集合への微分同相です。

第 4 段：$[0,1)$ に直す。 $W\cup(\partial X\times(-\infty,0))$ は自明な直線束 $\partial X\times\mathbb{R}$ の零切断を含む開集合なので、補題 3.3 により滑らかな $\delta\colon\partial X\to(0,\infty)$ で $\{(x,t):0\le t<\delta(x)\}\subset W$ となるものがあります。$(x,s)\mapsto c(x,s\delta(x))$ がカラーです。1 が示されました。

2。 $V_i=dc_i(\partial/\partial t)$（$i=0,1$）は $c_i$ の像の上のベクトル場で、$\partial X$ の各点で内向きです（$c_i$ の逆がチャートを与え、$t$ が最後の座標です）。$N=c_0(\partial X\times[0,1))\cap c_1(\partial X\times[0,1))$ は $\partial X$ を境界とする $X$ の開集合です。$\chi$ を 補題 2.4 の証明の関数とし、境界付き多様体 $N\times\mathbb{R}$（境界 $\partial X\times\mathbb{R}$）の上のベクトル場

$$V'_{(p,s)}=\bigl((1-\chi(s))V_0(p)+\chi(s)V_1(p),\ 0\bigr)$$

を考えます。内向きのベクトルの非負係数の和（係数の和は $1$）なので、$V'$ は境界で内向きです。第 2・3 段を $N\times\mathbb{R}$ と $V'$ に使うと、$\partial X\times\mathbb{R}\times\{0\}$ を含む開集合 $W'\subset\partial X\times\mathbb{R}\times[0,\infty)$ から $N\times\mathbb{R}$ の開集合への微分同相 $c'$ を得ます。$V'$ の第 2 成分は $0$ なので $c'(x,s,t)=(C(x,t,s),s)$ の形で、$t\mapsto C(x,t,s)$ は $(1-\chi(s))V_0+\chi(s)V_1$ の積分曲線です。$s\le\tfrac14$ ではこれは $V_0$ の積分曲線で、$t\mapsto c_0(x,t)$ も $x$ を始点とする $V_0$ の積分曲線なので、一意性から両方が定義されている範囲で $C(x,t,s)=c_0(x,t)$ です。$s\ge\tfrac12$ でも同様に $C=c_1$ です。

$\partial X\times[0,1]\times\{0\}$ はコンパクトなので、管の補題（補題 2.3［横断性］）から $\varepsilon\in(0,1)$ があって $\partial X\times[0,1]\times[0,\varepsilon)\subset W'$ です。$s\le\tfrac14$ では $C(x,t,s)=c_0(x,t)$、$s\ge\tfrac12$ では $C(x,t,s)=c_1(x,t)$ と定め直せば（$[0,1]$ の範囲では上と一致します）、$C$ は $\partial X\times[0,\varepsilon)\times\mathbb{R}$ 上で定義され、$(x,t,s)\mapsto(C(x,t,s),s)$ は各 $s$ ごとに単射（第 3 段）な局所微分同相なので、開集合への微分同相です。

∎

2 のカラーの族から、一方のカラーを他方に写す全空間の微分同相が作れます。そのために、コンパクトでない多様体の上でベクトル場の流れが有限時間で途切れないことを確かめる補題を用意します。この補題は、以下でベクトル場を積分するたびに使います。

補題 4.3（コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない）✓

$N$ を境界のない多様体、$\Xi$ を $N$ 上の滑らかなベクトル場、$\gamma\colon(a,b)\to N$ を $\Xi$ の極大積分曲線とする。$b<\infty$ ならば、どの $u_0\in(a,b)$ とどのコンパクト集合 $K\subset N$ についても $\gamma([u_0,b))\not\subset K$ である。$a>-\infty$ のときも同様に $\gamma((a,u_0])\not\subset K$ である。したがって、どの極大積分曲線についても、径数の有界な区間の像がコンパクト集合に含まれるならば、$\Xi$ は完備である。

証明（補題 4.3）

流れ $\theta\colon D\to N$（定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）の定義域 $D$ は $\{0\}\times N$ を含む $\mathbb{R}\times N$ の開集合です。管の補題（補題 2.3［横断性］）を $K\times\mathbb{R}$ の開集合 $\{(q,u):(u,q)\in D\}$ に使うと、$\varepsilon>0$ があって、すべての $q\in K$ について $(-\varepsilon,\varepsilon)\subset D^{(q)}$ です。$p=\gamma(u_1)$（$u_1\in(a,b)$）とし、径数をずらして $\gamma(u)=\theta(u-u_1,p)$、$D^{(p)}=(a-u_1,b-u_1)$ とします。$b<\infty$ かつ $\gamma([u_0,b))\subset K$ と仮定し、$u_2\in[u_0,b)$ を $u_2>b-\varepsilon$ となるように取ります。$q=\gamma(u_2)\in K$ なので、$0\le r<\varepsilon$ について $(r,q)\in D$ で、同じ定理の (2) から $(r+u_2-u_1,p)\in D$、すなわち $r+u_2<b$ です。$r\to\varepsilon$ として $u_2+\varepsilon\le b$ となり、$u_2$ の取り方に反します。$a$ の側も同じです。

∎

系 4.4（カラーの一意性（全空間の微分同相による形））✓

$X$ を境界付き多様体で $\partial X$ がコンパクトなものとし、$c_0,c_1$ を $\partial X$ の 2 つのカラーとする。このとき $\varepsilon'\in(0,1)$ と $X$ の微分同相 $\Theta\colon X\to X$ で、

$$\Theta\bigl(c_0(x,t)\bigr)=c_1(x,t)\qquad(x\in\partial X,\ 0\le t\le\varepsilon')$$

を満たし、$X$ のあるコンパクト集合の外で恒等写像であるものが存在する。とくに $\Theta|_{\partial X}=\mathrm{id}$ である。

証明（系 4.4）

定理 4.2 (2) の $\varepsilon$ と $C$ を取り、$\hat C(x,t,s)=(C(x,t,s),s)$ とおきます。$\hat C$ は $\partial X\times[0,\varepsilon)\times\mathbb{R}$ から $X\times\mathbb{R}$ の開集合 $O$ への微分同相で、$C(\cdot,\cdot,0)=c_0$、$C(\cdot,\cdot,1)=c_1$ です。$\varepsilon_1=\varepsilon/3$、$\varepsilon_2=2\varepsilon/3$ とします。

第 1 段：切り落とす関数。 $P=\hat C(\partial X\times[0,\varepsilon_2]\times\mathbb{R})$ は $X\times\mathbb{R}$ の閉集合です。実際、$\hat C(x_k,t_k,s_k)\to(p,s)$（$t_k\le\varepsilon_2$）とすると、$\partial X\times[0,\varepsilon_2]$ はコンパクトなので部分列で $(x_k,t_k)\to(x,t)$ とでき、$s_k\to s$ なので、連続性から $(p,s)=\hat C(x,t,s)\in P$ です。滑らかな $\rho_0\colon[0,\varepsilon)\to[0,1]$ で、$[0,\varepsilon_1]$ 上 $1$、$[\varepsilon_2,\varepsilon)$ 上 $0$ となるものを取り、$X\times\mathbb{R}$ 上の関数 $\rho$ を、$O$ の上で $\rho(\hat C(x,t,s))=\rho_0(t)$、$O$ の外で $0$ と定めます。$O$ と $(X\times\mathbb{R})\setminus P$ は開被覆で、$\rho$ は前者の上で滑らか、後者の上で $0$ なので、$\rho$ は滑らかです。

第 2 段：ベクトル場。 境界のない多様体 $N=\operatorname{Int}X\times\mathbb{R}$ の上で考えます。$O\cap N=\hat C(\partial X\times(0,\varepsilon)\times\mathbb{R})$ の上のベクトル場 $\Xi_C=d\hat C(\partial/\partial s)$ と、積の座標による $\partial/\partial s$ から

$$\Xi=\rho\,\Xi_C+(1-\rho)\,\frac{\partial}{\partial s}$$

とおきます（$\rho\,\Xi_C$ は $O$ の外で $0$ とします）。$\Xi$ は $N$ 上の滑らかなベクトル場で、$\hat C$ は $s$ 座標を保つので $\Xi$ の $s$ 成分は $1$ です。$P$ の外では $\Xi=\partial/\partial s$ です。

$0<t\le\varepsilon_1$ のとき、曲線 $u\mapsto\hat C(x,t,s+u)$（$u\in\mathbb{R}$）の上で $\rho=\rho_0(t)=1$ で、速度は $\Xi_C=\Xi$ なので、これは $\mathbb{R}$ 全体で定義された $\Xi$ の積分曲線です。$Q=\hat C(\partial X\times(0,\varepsilon_1]\times\mathbb{R})$ はこのような積分曲線の合併なので、積分曲線の一意性から、$Q$ の外の点を始点とする積分曲線は $Q$ に入りません。

第 3 段：完備性。 $(p_0,s_0)\in N\setminus Q$ を始点とする極大積分曲線を $\gamma(u)=(p(u),s_0+u)$（$u\in(a,b)$）とし、$b<\infty$ と仮定します。$u\in[0,b)$ とします。$\gamma(u)\in P$ なら、$\gamma(u)\notin Q$ と合わせて $p(u)$ は

$$K_1=\{C(x,t,s):x\in\partial X,\ \varepsilon_1\le t\le\varepsilon_2,\ s_0\le s\le s_0+b\}$$

に入ります。$\gamma(u)\notin P$ のとき、$u'=\sup\{v\in[0,u]:\gamma(v)\in P\}$（そのような $v$ があれば）とすると、$P$ は閉集合なので $\gamma(u')\in P$、区間 $(u',u]$ の上では $\Xi=\partial/\partial s$ なので $p$ は定数で $p(u)=p(u')\in K_1$ です。そのような $v$ がなければ $p(u)=p_0$ です。$K_1$ はコンパクト集合の連続像としてコンパクトで、$t\ge\varepsilon_1>0$ なので $\operatorname{Int}X$ に含まれます。よって $\gamma([0,b))$ は $N$ のコンパクト集合 $(K_1\cup\{p_0\})\times[s_0,s_0+b]$ に含まれ、補題 4.3 に反します。$a>-\infty$ の場合も同じで、第 2 段と合わせて $\Xi$ は完備です。

第 4 段：$\Theta$。 $\Xi$ の流れを $\theta_u$ とします。$s$ 成分は速度 $1$ で進むので、$\theta_1$ は $\operatorname{Int}X\times\{0\}$ を $\operatorname{Int}X\times\{1\}$ に写し、$\theta_{-1}$ がその逆を与えます。$\theta_1(p,0)=(\Theta(p),1)$ で $\Theta\colon\operatorname{Int}X\to\operatorname{Int}X$ を定めると、これは微分同相です。第 2 段から、$0<t\le\varepsilon_1$ について

$$\Theta\bigl(c_0(x,t)\bigr)=\Theta\bigl(C(x,t,0)\bigr)=C(x,t,1)=c_1(x,t)$$

です。$\partial X$ の上では $\Theta=\mathrm{id}$ と定めます。すると $\partial X$ の開近傍 $c_0(\partial X\times[0,\varepsilon_1))$ の上で $\Theta=c_1\circ c_0^{-1}$ で、これは開集合 $c_1(\partial X\times[0,\varepsilon_1))$ への微分同相です。よって $\Theta\colon X\to X$ は全単射で、各点の近傍で微分同相なので、微分同相です。$\varepsilon'=\varepsilon_1$ とします。

最後に、$K_2=\{C(x,t,s):x\in\partial X,\ 0\le t\le\varepsilon_2,\ 0\le s\le1\}$ はコンパクトで、$p\in\operatorname{Int}X\setminus K_2$ なら $u\in[0,1]$ について $(p,u)\notin P$ なので、$u\mapsto(p,u)$ が $\Xi$ の積分曲線で、$\Theta(p)=p$ です。

∎

5. イソトピー拡張定理

定義 5.1（イソトピー・ディフェオトピー・時間に依存するベクトル場）↗

$Z,Y$ を境界のない多様体、$J$ を $[0,1]$ を含む開区間とする。

1. 滑らかな写像 $F\colon Z\times J\to Y$ で、各 $F_t=F(\cdot,t)$ が埋め込みであるものを（$J$ 上の）イソトピーという。
2. 滑らかな写像 $\Phi\colon Y\times J\to Y$ で、各 $\Phi_t$ が $Y$ の微分同相、$\Phi_0=\mathrm{id}$ であるものを $Y$ のディフェオトピー（またはアンビエントイソトピー）という。あるコンパクト集合の外ですべての $\Phi_t$ が恒等写像であるとき、台がコンパクトであるという。
3. 埋め込み $f_0,f_1\colon Z\to Y$ と部分集合 $K\subset Z$ について、$Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1\circ f_0|_K=f_1|_K$ となるものがあるとき、$f_0$ と $f_1$ は $K$ の上でアンビエントイソトピックであるという。
4. 滑らかな写像 $V\colon Y\times J\to TY$ で $V(y,t)\in T_yY$ となるものを時間に依存するベクトル場といい、$V_t=V(\cdot,t)$ と書く。

$[0,1]$ の上だけで与えられたイソトピーは、径数を $\chi$ で取り替えて $F(z,\chi(t))$ とすれば、両端の埋め込みを変えずに $\mathbb{R}$ 上のイソトピーになります。$K$ の上でアンビエントイソトピックであることは同値関係です。$\Phi,\Phi'$ がディフェオトピーなら $\Phi_t\circ\Phi'_t$ と $\Phi_t^{-1}$ もディフェオトピーだからです（$(y,t)\mapsto(\Phi_t(y),t)$ は $Y\times J$ の微分同相で、その逆写像の第 1 成分が $\Phi_t^{-1}$ です）。

次の定理の証明の方針です。イソトピーの各時刻での速度（動いている部分多様体の上のベクトル）を、まず全空間のベクトル場に延ばし、その流れで空間全体を動かします。時間に依存するベクトル場は、時間を座標に加えた 1 次元大きい空間のベクトル場とみなすと、通常のベクトル場として積分できます。流れが有限時間で途切れないこと（完備性）は、切り落とす関数で $Y$ の方向と時間の方向の両方を抑えて保証します。

定理 5.2（イソトピー拡張定理）✓

$Z,Y$ を境界のない多様体、$F\colon Z\times J\to Y$ をイソトピー、$K\subset Z$ をコンパクト集合とする。このとき $Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で、

$$\Phi_t\bigl(F_0(z)\bigr)=F_t(z)\qquad(z\in K,\ t\in[0,1])$$

となるものが存在する。とくに $Z$ がコンパクトなら（$K=Z$ として）、コンパクトな部分多様体のイソトピーはすべて、台がコンパクトなアンビエントイソトピーに拡張できる。

証明（定理 5.2）

$[-\eta,1+\eta]\subset J$ となる $\eta>0$ を取り、$I=[-\eta,1+\eta]$ とします。

第 1 段：軌跡と速度。 $\hat F\colon Z\times J\to Y\times J$、$\hat F(z,t)=(F(z,t),t)$ ははめ込みです。微分が $\begin{pmatrix}dF_t&\partial_tF\\0&1\end{pmatrix}$ で、$dF_t$ が単射だからです。$F_t$ が単射なので $\hat F$ も単射です。$M_K=\hat F(K\times I)$ はコンパクトで、$\hat F|_{K\times I}$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射なので像への同相写像です（系 6.5［コンパクト性］）。$M_K$ の点 $q=\hat F(z,t)$ に、ベクトル

$$\xi(q)=d\hat F_{(z,t)}(\partial/\partial t)=\bigl(\partial_tF(z,t),\ 1\bigr)\in T_q(Y\times J)$$

を対応させます。

第 2 段：速度を近傍に延ばす。 $q_0=\hat F(z_0,t_0)\in M_K$ とします。はめ込みの局所標準形（定理 3.3［部分多様体と正則値定理］）により、$(z_0,t_0)$ のまわりのチャート $(N_0,\alpha)$ と $q_0$ のまわりのチャート $(O_0,\beta)$ で $\beta\circ\hat F\circ\alpha^{-1}(x)=(x,0)$ となるものがあります。$\beta(O_0)=B'\times B''$（$B'=\alpha(N_0)$）の形に小さく取り直します。$\hat F(N_0)$ の上のベクトル場 $d\hat F(\partial/\partial t)$ の $\beta$ 座標での成分は $x\in B'$ の滑らかな関数なので、$B''$ の方向に定数として延ばして $O_0$ 上の滑らかなベクトル場 $V^{(0)}$ を得ます。さらに、$\hat F((K\times I)\setminus N_0)$ はコンパクトで $q_0$ を含まないので（$\hat F$ は単射）、$O_0$ をこの集合と交わらないように小さくします。すると $O_0\cap M_K\subset\hat F(N_0)$ で、$O_0\cap M_K$ の上で $V^{(0)}=\xi$ です。

このような $O_0$ たちと $(Y\times J)\setminus M_K$ は $Y\times J$ の開被覆です。従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$ を取り、$O_0$ 型の集合に台が入る $\rho_j$ には対応する $V^{(j)}$ を、残りには $0$ を掛けて足し、$V'=\sum_j\rho_jV^{(j)}$ とします。$q\in M_K$ で $\rho_j(q)\ne0$ となる $j$ はすべて $O_0$ 型で $V^{(j)}(q)=\xi(q)$ なので、$V'=\xi$（$M_K$ 上）です。$V'$ の $TY$ 成分を $V_t(y)$ と書くと、$V$ は時間に依存するベクトル場で、

$$V_t\bigl(F(z,t)\bigr)=\partial_tF(z,t)\qquad(z\in K,\ t\in I)$$

です。

第 3 段：台をコンパクトにして積分する。 $F(K\times I)\subset Y$ はコンパクトなので、コンパクトな閉包を持つ開近傍があり、滑らかな $\lambda\colon Y\to[0,1]$ で、台がコンパクトで $F(K\times I)$ の上で $\lambda=1$ となるものが取れます（系 6.4［部分多様体と正則値定理］）。また滑らかな $\mu\colon J\to[0,1]$ で、台がコンパクトで $I$ の上で $\mu=1$ となるものを取ります。$Y\times J$ 上のベクトル場

$$\Xi_{(y,t)}=\bigl(\mu(t)\lambda(y)V_t(y),\ \mu(t)\bigr)$$

を考えます。$Y$ がコンパクトでないとき $\Xi$ の台はコンパクトとは限りませんが（$\lambda$ の台の外でも第 2 成分 $\mu(t)$ が残ります）、$\Xi$ は完備です。実際、$(y_0,t_0)$ を始点とする極大積分曲線を $(y(s),\tau(s))$ とすると、$\tau(s_1)\notin\operatorname{supp}\mu$ となる $s_1$ があれば、そこで $\tau'=\mu(\tau)=0$ で、$J$ 上のベクトル場 $\mu\,\partial/\partial t$ の積分曲線の一意性から $\tau$ は定数 $t_0$ です。よって $\tau(s)$ はコンパクト集合 $\{t_0\}\cup\operatorname{supp}\mu$ にとどまります。また $y(s_1)\notin\operatorname{supp}\lambda$ となる $s_1$ があれば、$s\mapsto(y(s_1),\tau(s))$ も $\Xi$ の積分曲線（$\lambda(y(s_1))=0$ なので速度は $(0,\mu(\tau(s)))$）で、一意性から $y$ は定数 $y_0$ です。よって $y(s)$ はコンパクト集合 $\{y_0\}\cup\operatorname{supp}\lambda$ にとどまります。積分曲線全体が $Y\times J$ のコンパクト集合にとどまるので、補題 4.3 により定義域は $\mathbb{R}$ 全体です。したがって流れ $\theta_s$ は $Y\times J$ の微分同相の 1 径数群です（定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）。$(y,0)$ を始点とする積分曲線の $J$ 成分 $\tau(s)$ は $\tau'=\mu(\tau)$、$\tau(0)=0$ を満たし、$\mu=1$ である $I$ の中では $\tau(s)=s$ です。そこで $s\in(-\eta,1+\eta)$ に対し

$$\theta_s(y,0)=(\Phi_s(y),s)$$

で $\Phi_s$ を定めます。$\Phi$ は滑らかで、$\Phi_0=\mathrm{id}$ です。$\theta_{-s}$ は $Y\times\{s\}$ を $Y\times\{0\}$ に写すので（$J$ 成分は $I$ の中で $s$ から $0$ まで速度 $-1$ で戻ります）、$\Phi_s$ は逆写像を持つ微分同相です。$\lambda$ の台の外の $y$ では積分曲線は $(y,\tau(s))$ なので $\Phi_s(y)=y$ で、$\Phi$ の台はコンパクトです。

最後に、$z\in K$ に対し曲線 $s\mapsto(F(z,s),s)$（$s\in[0,1]$）の速度は $(\partial_sF(z,s),1)=(V_s(F(z,s)),1)$ で、$\lambda(F(z,s))=1$、$\mu(s)=1$ なので、これは $(F_0(z),0)$ を始点とする $\Xi$ の積分曲線です。一意性から $\theta_s(F_0(z),0)=(F_s(z),s)$、すなわち $\Phi_s(F_0(z))=F_s(z)$ です。

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例 5.3（直線上で点を動かす／コンパクト性が要る理由）

(a) $Y=\mathbb{R}$ で点 $0$ を点 $a$ に動かす、台がコンパクトなディフェオトピーを具体的に書きます。$\lambda\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$|y|\le|a|$ で $\lambda=1$、$|y|\ge|a|+1$ で $\lambda=0$ となる滑らかな関数とし、ベクトル場 $a\lambda(y)\,\partial/\partial y$ の流れを $\Phi_t$ とします。$y(t)=ta$（$0\le t\le1$）は $|y|\le|a|$ の範囲にあり $y'=a=a\lambda(y)$ を満たすので、$\Phi_t(0)=ta$、$\Phi_1(0)=a$ です。$|y|\ge|a|+1$ では $\Phi_t(y)=y$ です。定理 5.2 の証明は、この構成を一般の多様体と部分多様体に対して行うものです。

(b) $K$ がコンパクトでないと拡張できないことがあります。$Z=Y=\mathbb{R}$、$F_t(x)=x/(1+t^2x^2)^{1/2}$ とすると、各 $F_t$ は埋め込みで、$F_0=\mathrm{id}$、$F_1(\mathbb{R})=(-1,1)$ です。$\Phi_1\circ F_0=F_1$ となる $\mathbb{R}$ の微分同相 $\Phi_1$ があれば $\Phi_1(\mathbb{R})=(-1,1)$ となり、全射性に反します。コンパクトな $K=[-R,R]$ の上では拡張できますが、$R$ を大きくするほど大きな台が要ります。3 次元では、直線に結んだ結び目を無限遠へ滑らせて消すイソトピーが同じ現象の例で、これもアンビエントイソトピーには延びません（補空間の基本群が変わるからです。結び目が自明でないことの証明はこのテーマの最終章で扱います）。

定理 5.4（微分同相群は点の組に推移的に作用する）✓

$Y$ を連結な境界のない多様体とする。

1. 任意の $p,q\in Y$ に対し、$Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1(p)=q$ となるものが存在する。
2. $\dim Y\ge2$ とする。相異なる点の組 $(p_1,\dots,p_k)$、$(q_1,\dots,q_k)$ に対し、台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1(p_i)=q_i$（$i=1,\dots,k$）となるものが存在する。

証明（定理 5.4）

1。 まず $\mathbb{R}^n$ の開球 $B$ の 2 点 $a,b$ について、台が $B$ のコンパクト集合に入るディフェオトピーで $a$ を $b$ に写すものを作ります。線分 $[a,b]$ の上で $\lambda=1$、台が $B$ のコンパクト集合に入る滑らかな関数 $\lambda$ を取り、定ベクトル場に掛けた $\lambda(y)(b-a)$ の流れ $\Phi_t$ を考えます。台がコンパクトなので完備で、$y(t)=a+t(b-a)$ は $\lambda=1$ の範囲にある積分曲線なので $\Phi_1(a)=b$ です。

$p\sim q$ を「台がコンパクトなディフェオトピーで $p$ を $q$ に写せる」と定めると、これは同値関係です。$p$ のまわりのチャートの開球 $B$ を取ると、上の構成を $Y$ に移して（$B$ の外は恒等写像で延ばします）、$B$ の点はすべて $p$ と同値です。よって各同値類は開集合で、$Y$ は連結なので同値類は 1 つです（定義 2.1［連結性］）。

2。 まず、$\dim Y\ge2$ なら有限集合 $A$ を除いた $Y\setminus A$ も連結であることを示します。1 点 $a$ の場合に示せば、繰り返して従います。$Y\setminus\{a\}=U\sqcup U'$（空でない開集合）と仮定します。$a$ のまわりのチャートの開球 $B$ について、$B\setminus\{a\}$ は次元が $2$ 以上なので連結で、$U$ か $U'$ の一方、たとえば $U$ に含まれます。すると $U\cup\{a\}=U\cup B$ と $U'$ が $Y$ を分離し、連結性に反します。

$k$ についての帰納法で示します。$k-1$ 個の組について、$\Phi'_1(p_i)=q_i$（$i<k$）となる $\Phi'$ があるとします。$p'=\Phi'_1(p_k)$ と $q_k$ はどちらも $Y'=Y\setminus\{q_1,\dots,q_{k-1}\}$ の点で、$Y'$ は連結なので、1 により $Y'$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi''$ で $\Phi''_1(p')=q_k$ となるものがあります。$\Phi''$ は $q_1,\dots,q_{k-1}$ の近傍で恒等写像なので、$Y$ のディフェオトピーに延び、$q_i$（$i<k$）を動かしません。$\Phi_t=\Phi''_t\circ\Phi'_t$ が求めるものです。

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イソトピー拡張定理を 定理 3.7 のイソトピーに使うと、管状近傍の一意性を「全空間のディフェオトピーで移り合う」という形にできます。全空間 $E_0$ はコンパクトでないので、移せるのはコンパクトな部分（たとえばコンパクトな部分の上の閉円板束）の上だけです。

系 5.5（管状近傍の一意性（アンビエントな形））✓

$Y$ を境界のない多様体、$Z\subset Y$ を境界のない部分多様体、$(E_0,\varphi_0)$、$(E_1,\varphi_1)$ を $Z$ の 2 つの管状近傍、$K\subset E_0$ をコンパクト集合とする。このとき束同型 $\lambda\colon E_0\to E_1$ と、$Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で

$$\Phi_1\circ\varphi_0|_K=\varphi_1\circ\lambda|_K$$

となるものが存在する。零切断の点 $0_z\in K$ については、すべての $t\in[0,1]$ で $\Phi_t(z)=z$ である。

証明（系 5.5）

定理 3.7 の $\lambda$ と $F\colon E_0\times[0,1]\to Y$ を取り、$\chi$（補題 2.4 の証明の関数）で $F'(v,t)=F(v,\chi(t))$（$t\in\mathbb{R}$）とおきます。$E_0$ の全空間は境界のない多様体で、各 $F'_t$ は開集合への微分同相、とくに埋め込みなので、$F'$ は $\mathbb{R}$ 上のイソトピーで、$F'_0=\varphi_0$、$F'_1=\varphi_1\circ\lambda$ です。定理 5.2（$Z$ を $E_0$、$K$ を上の $K$ として）により、台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_t(\varphi_0(v))=F'_t(v)$（$v\in K$、$t\in[0,1]$）となるものがあります。$t=1$ が求める等式です。$0_z\in K$ なら $\Phi_t(z)=\Phi_t(\varphi_0(0_z))=F'_t(0_z)=z$ です。

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6. 円板定理と連結和

$D^n$ を閉単位円板、$B_R\subset\mathbb{R}^n$ を半径 $R$ の開球とします。円板の埋め込みは、少し大きい開球の埋め込みの制限として扱います。

補題 6.1（原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック）✓

$R>1$、$g\colon B_R\to\mathbb{R}^n$ を埋め込みで、$g(0)=0$、$\det Dg>0$ となるものとする。このとき $g$ と包含写像 $B_R\to\mathbb{R}^n$ は $D^n$ の上でアンビエントイソトピックである。

証明（補題 6.1）

$1<R'<R$ を取り、$B_{R'}$ の上で考えます。$L=Dg(0)$ とします。

第 1 段：$g$ から $L$ へ。 $G(x,t)=g(tx)/t$（$t\ne0$）、$G(x,0)=Lx$ とおくと、$|t|<R/R'$ で定義され、$G(x,t)=\int_0^1Dg(stx)x\,ds$ なので滑らかです（$g(0)=0$）。$t\ne0$ では $G_t$ は $t$ 倍・$g$・$1/t$ 倍の合成、$t=0$ では正則な線形写像なので、各 $G_t$ は埋め込みで、$G$ は $J=(-R/R',R/R')\supset[0,1]$ 上のイソトピーです。$G_0=L$、$G_1=g$ なので、定理 5.2（$K=D^n$）により $L$ と $g$ は $D^n$ の上でアンビエントイソトピックです。

第 2 段：$L$ から恒等写像へ。 $\det L>0$ です。$GL_n^{+}(\mathbb{R})$ は連結な開集合なので（補題 3.1［Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理］）、単位行列 $I$ と $L$ は $GL_n^{+}(\mathbb{R})$ の中の折れ線で結べます（定理 9.4［連結性］）。折れ線の各辺を $\chi$ で径数づけて頂点の近くで止まるようにすれば、滑らかな道 $L_t$（$L_t=I$（$t\le0$）、$L_t=L$（$t\ge1$））を得ます。$(x,t)\mapsto L_tx$ は $\mathbb{R}$ 上のイソトピーなので、同じ定理により包含写像と $L$ は $D^n$ の上でアンビエントイソトピックです。アンビエントイソトピックであることは同値関係なので、主張が従います。

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定理 6.2（円板定理（Palais, Cerf））✓

$Y$ を連結な向き付けられた $n$ 次元の境界のない多様体、$R>1$ とし、$f_0,f_1\colon B_R\to Y$ を向きを保つ埋め込みとする。このとき $f_0$ と $f_1$ は $D^n$ の上でアンビエントイソトピックである。すなわち、$Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1\circ f_0|_{D^n}=f_1|_{D^n}$ となるものが存在する。

証明（定理 6.2）

以下「$\sim$」は $D^n$ の上でアンビエントイソトピックであることを表します。埋め込み $f\colon B_R\to Y$ と $0<s\le1$ に対し $f^{s}(x)=f(sx)$ とおきます。$(x,u)\mapsto f\bigl((1-\chi(u)+\chi(u)s)x\bigr)$ は $f$ から $f^{s}$ へのイソトピーなので、定理 5.2 により $f\sim f^{s}$ です。

第 1 段：中心を合わせる。 定理 5.4 (1) により $\Psi_1(f_0(0))=f_1(0)$ となるディフェオトピー $\Psi$ があります。$\Psi_1\circ f_0\sim f_0$ で、$\Psi_1$ は恒等写像にイソトピックなので向きを保ちます（Jacobi 行列式の符号は $t$ について連続で $0$ になりません）。$f_0$ を $\Psi_1\circ f_0$ に取り替えて、$f_0(0)=f_1(0)$ とします。

第 2 段：$f_0$ を $f_1$ の像の中に縮める。 $f_0^{-1}(f_1(B_1))$ は $0$ の開近傍なので、$\epsilon\in(0,1]$ を $f_0(\epsilon B_R)\subset f_1(B_1)$ となるように取れます。$g=f_1^{-1}\circ f_0^{\epsilon}\colon B_R\to B_1\subset\mathbb{R}^n$ は埋め込みで、$g(0)=0$、$f_0,f_1$ が向きを保つので $\det Dg>0$ です。補題 6.1 により、$\mathbb{R}^n$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Theta$ で $\Theta_1|_{D^n}=g|_{D^n}$ となるものがあります。

第 3 段：$Y$ に移す。 $\Theta$ の台は $B_R$ に入るとは限らないので、拡大縮小で小さくします。$S_s(x)=sx$ とし、$\Theta$ の台が $B_{\rho}$ に入るとして $s<R/\rho$、$s\le1$ を取ると、$\Theta^{s}_t=S_s\circ\Theta_t\circ S_s^{-1}$ は台が $B_R$ のコンパクト集合に入る $\mathbb{R}^n$ のディフェオトピーで、$x\in D^n$ に対し $\Theta^{s}_1(sx)=s\,g(x)$ です。$f_1(B_R)$ の上で $\Phi_t=f_1\circ\Theta^{s}_t\circ f_1^{-1}$、その外で恒等写像とおくと、$\Phi$ は $Y$ の台がコンパクトなディフェオトピーで、$x\in D^n$ に対し

$$\Phi_1\bigl(f_1^{s}(x)\bigr)=f_1\bigl(\Theta^{s}_1(sx)\bigr)=f_1\bigl(s\,g(x)\bigr)$$

です。右辺の埋め込み $x\mapsto f_1(S_s(f_1^{-1}(f_0^{\epsilon}(x))))$ は、$(x,u)\mapsto f_1\bigl((1-\chi(u)+\chi(u)s)\,f_1^{-1}(f_0^{\epsilon}(x))\bigr)$ というイソトピーで $f_0^{\epsilon}$ と結ばれるので、定理 5.2 により $f_0^{\epsilon}$ と $\sim$ です。以上から

$$f_0\sim f_0^{\epsilon}\sim f_1\circ S_s\circ g=\Phi_1\circ f_1^{s}\sim f_1^{s}\sim f_1$$

です。

∎

向き付け可能でない連結な多様体では、向きの条件なしに同じ結論が成り立ちます（向きを逆にする閉曲線に沿って円板を一周させると、円板の向きが逆になるからです）。この記事では使わないので証明しません。

定義 6.3（連結和）↗

$n\ge2$ とする。$M_1,M_2$ を連結な向き付けられた $n$ 次元の境界のない多様体とし、$f_1\colon B_R\to M_1$ を向きを保つ埋め込み、$f_2\colon B_R\to M_2$ を向きを逆にする埋め込みとする（$R>1$）。$M_1\setminus\{f_1(0)\}$ と $M_2\setminus\{f_2(0)\}$ の非交和で、

$$f_1(tu)\ \sim\ f_2\bigl((1-t)u\bigr)\qquad(u\in S^{n-1},\ 0<t<1)$$

を同一視して得られる空間を $M_1\# M_2$ と書き、連結和という。

系 6.4（連結和は矛盾なく定まる）✓

定義 6.3 の $M_1\# M_2$ は連結な向き付けられた $n$ 次元の境界のない多様体で、その向きを保つ微分同相類は埋め込み $f_1,f_2$ の取り方によらない。また、向きを決めていない連結な $n$ 次元の境界のない多様体 $M_1,M_2$ と、任意の埋め込み $f_i\colon B_R\to M_i$ についても、同じ同一視で得られる空間は連結な $n$ 次元の境界のない多様体で、$M_i\setminus\{f_i(0)\}$ はその開部分多様体である。

証明（系 6.4）

多様体であること。 $M_i'=M_i\setminus\{f_i(0)\}$、$U_i=f_i(B_1\setminus\{0\})$ とし、$\iota(tu)=(1-t)u$（$B_1\setminus\{0\}$ の微分同相）、$\alpha=f_2\circ\iota\circ f_1^{-1}\colon U_1\to U_2$ とします。$M_1\# M_2$ は $M_1'$ と $M_2'$ を開集合 $U_1,U_2$ の間の微分同相 $\alpha$ で貼ったもので、$M_1',M_2'$ のチャートがアトラスを与えます（重なりでの座標変換は $\alpha$ を挟むだけです）。第二可算性は明らかで、Hausdorff 性は次のとおりです。同じ $M_i'$ に入る 2 点は $M_i'$ の中で分離できます。$x\in M_1'\setminus U_1$、$y\in M_2'\setminus U_2$ のとき、$O_1=M_1'\setminus f_1(\overline{B_{1/2}})$、$O_2=M_2'\setminus f_2(\overline{B_{1/2}})$ は $x,y$ の開近傍で、$\alpha(O_1\cap U_1)=f_2(\{0<|w|<\tfrac12\})$ は $O_2$ と交わらないので、$O_1$ と $O_2$ の像は交わりません。$\iota$ は向きを逆にし（半径方向を反転します）、$f_1^{-1}$ は向きを保ち、$f_2$ は向きを逆にするので、$\alpha$ は向きを保ち、$M_1',M_2'$ の向きが貼り合います。連結であることは、$n\ge2$ なので $M_i'$ が連結で（定理 5.4 の証明の第 2 部の冒頭）、それらの像が共通部分を持つことから従います（命題 5.3［連結性］）。ここまでの議論のうち、向きを使ったのは「$\alpha$ は向きを保ち、向きが貼り合う」の 1 文だけなので、向きを決めていない $M_1,M_2$ と任意の埋め込み $f_1,f_2$ についても、得られる空間は連結な境界のない多様体で、$M_i'$ はチャートをそのまま使う開部分多様体です（主張の最後の文）。

取り方によらないこと。 $f_1'$ を別の向きを保つ埋め込みとします。定理 6.2 により、$M_1$ の微分同相 $\Phi_1$（恒等写像にイソトピックなので向きを保つ）で $\Phi_1\circ f_1=f_1'$（$D^n$ 上）となるものがあります。$\Phi_1$ は $M_1\setminus\{f_1(0)\}$ を $M_1\setminus\{f_1'(0)\}$ に写し、$f_1(tu)$ を $f_1'(tu)$ に写すので、$\Phi_1$ と $M_2'$ の恒等写像は同一視と両立し、$(f_1,f_2)$ による連結和から $(f_1',f_2)$ による連結和への向きを保つ微分同相を与えます。$f_2$ の取り替えについては、$M_2$ の向きを逆にした多様体の中で $f_2,f_2'$ が向きを保つ埋め込みになるので、同じ議論ができます。

∎

注意 6.5（向きを変えると連結和は変わりうる）

$M_2$ の向きを逆にしたもの $-M_2$ との連結和 $M_1\#(-M_2)$ は、$M_1\# M_2$ と微分同相とは限りません。$\mathbb{C}P^2\#\mathbb{C}P^2$ と $\mathbb{C}P^2\#(-\mathbb{C}P^2)$ は、2 次のコホモロジーの上の交叉形式がそれぞれ正定値・不定値で、ホモトピー同値ですらありません。交叉形式は Thom 類と Poincaré 双対 で定義します。$M_2$ が向きを逆にする微分同相を持つ場合（球面、$\mathbb{C}P^{2k+1}$ など）は違いが出ません。

7. 境界に沿った貼り合わせ

定義 7.1（境界に沿った貼り合わせ）↗

$X_1,X_2$ を境界付き多様体、$h\colon\partial X_1\to\partial X_2$ を微分同相とする。非交和 $X_1\sqcup X_2$ で $x\sim h(x)$（$x\in\partial X_1$）を同一視した商空間を $X_1\cup_hX_2$ と書く。カラー $c_i\colon\partial X_i\times[0,1)\to X_i$ を取り、

$$\kappa\colon\partial X_1\times(-1,1)\to X_1\cup_hX_2,\qquad \kappa(x,t)=\begin{cases}c_1(x,-t)&(t\le0)\\c_2(h(x),t)&(t\ge0)\end{cases}$$

とおく。$\operatorname{Int}X_1$、$\operatorname{Int}X_2$ のチャートと、$\kappa^{-1}$ に $\partial X_1\times(-1,1)$ のチャートを合成したものをアトラスとする滑らかな構造を、$(c_1,c_2)$ による貼り合わせの構造という。

$\kappa$ は開集合への同相写像で、$\operatorname{Int}X_i$ のチャートとの座標変換は $c_i$（のチャート表示）なので滑らかです。位相は $h$ だけで決まりますが、滑らかな構造はカラーに依存して定義されています。境界で 2 つのチャートをただ並べただけでは、継ぎ目を横切る方向の微分が合わないからです。

定理 7.2（貼り合わせの構造はカラーによらない）✓

$X_1,X_2$ をコンパクトな境界付き多様体、$h\colon\partial X_1\to\partial X_2$ を微分同相とする。$X_1\cup_hX_2$ は Hausdorff で、任意のカラーの組 $(c_1,c_2)$ による貼り合わせの構造で境界のないコンパクトな多様体になる。2 つのカラーの組 $(c_1,c_2)$、$(c_1',c_2')$ による構造を持つ多様体は、互いに微分同相である。

証明（定理 7.2）

$W=X_1\cup_hX_2$ とします。Hausdorff 性を確かめます。$W$ は 3 つの開集合 $\operatorname{Int}X_1$、$\operatorname{Int}X_2$、$\kappa$ の像（$\partial X_1\times(-1,1)$ と同相）の合併で、それぞれ Hausdorff なので、2 点が同じ開集合に入れば分離できます。そうでないとき、一方の点 $y$ は $\kappa$ の像の外にあり、たとえば $y\in X_1\setminus c_1(\partial X_1\times[0,1))$ で、他方の点 $z$ は $\operatorname{Int}X_1$ に入らないので $X_2$ の点（継ぎ目を含む）です。$c_1(\partial X_1\times[0,\tfrac12])$ はコンパクトなので閉集合で、$X_1\setminus c_1(\partial X_1\times[0,\tfrac12])$ と $X_2\cup c_1(\partial X_1\times[0,\tfrac12))$ は $y,z$ を分離する $W$ の開集合です。$W$ はコンパクト空間 $X_1\sqcup X_2$ の連続像なのでコンパクトです。

カラーを片側ずつ取り替えればよいので、$c_2'=c_2$ とします。定理 4.2 (2) の $\varepsilon$ と族 $C$（$c_0=c_1$、$c_1=c_1'$ として）を取ります。

第 1 段：族の全空間。 集合 $\mathcal{W}=W\times\mathbb{R}$ に、次の 3 種類のチャートで滑らかな構造を入れます。(a) $\operatorname{Int}X_1\times\mathbb{R}$、(b) $\operatorname{Int}X_2\times\mathbb{R}$ の積のチャート。(c) 継ぎ目のチャート

$$\hat\kappa\colon\partial X_1\times(-\varepsilon,\varepsilon)\times\mathbb{R}\to\mathcal{W},\qquad \hat\kappa(x,t,s)=\begin{cases}\bigl(C(x,-t,s),\ s\bigr)&(t\le0)\\\bigl(c_2(h(x),t),\ s\bigr)&(t\ge0).\end{cases}$$

(a) と (c) の間の座標変換は $(x,t,s)\mapsto(C(x,-t,s),s)$（$t<0$）で、定理 4.2 (2) により開集合への微分同相です。(b) と (c) の間は $c_2\times\mathrm{id}$ です。よって $\mathcal{W}$ は境界のない多様体で、射影 $\sigma\colon\mathcal{W}\to\mathbb{R}$ はどのチャートでも $s$ 座標なので沈め込みです。$s\le\tfrac14$ の部分では $\hat\kappa$ は $c_1$ から作った $\kappa$ と $\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ の積なので、$\sigma^{-1}(0)$ は $(c_1,c_2)$ による構造を持つ $W$ です。同様に $\sigma^{-1}(1)$ は $(c_1',c_2)$ による構造を持つ $W$ です。

第 2 段：流れで運ぶ。 $\mathcal{W}$ の上に、$d\sigma(\Xi)=1$ となるベクトル場 $\Xi$ を作ります。3 種類のチャートの定義域による開被覆に従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$ を取り、各チャートの座標での $\partial/\partial s$ を $\rho_j$ で足し合わせます。各項が $d\sigma(\partial/\partial s)=1$ を満たすので $d\sigma(\Xi)=1$ です。$\mu\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を台がコンパクトで $[-1,2]$ の上で $1$ の滑らかな関数とすると、$(\mu\circ\sigma)\Xi$ の台はコンパクト集合 $W\times\operatorname{supp}\mu$ に入るので完備で（命題 2.7［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）、流れ $\theta_u$ は $\mathcal{W}$ の微分同相です。積分曲線に沿って $\sigma$ の値は $[-1,2]$ の中で速度 $1$ で増えるので、$\theta_1$ は $\sigma^{-1}(0)$ を $\sigma^{-1}(1)$ の中に写し、$\theta_{-1}$ がその逆を与えます。$\sigma^{-1}(0)$、$\sigma^{-1}(1)$ は正則値の逆像として $\mathcal{W}$ の部分多様体で、その構造は第 1 段で見たものなので、$\theta_1$ の制限が求める微分同相です。

∎

注意 7.3（貼り合わせについての補足）

(a) コンパクト性の仮定は、$\varepsilon$ を一様に取ることとベクトル場の完備性に使いました。貼り合わせる部分がコンパクトなら全体がコンパクトでなくても同じ結論が成り立ち、境界の一部（いくつかの連結成分）だけを貼り合わせることもでき、さらに微分同相は継ぎ目の近傍の外で恒等写像に取れます。これを 系 7.4 で証明します（Hirsch『Differential Topology』第 8 章 §2 も見てください）。同境をつなぐとき、ハンドルを接着するときに使うのはこの形です。

(b) 貼り合わせる微分同相 $h$ を取り替えると、得られる多様体は一般に変わります。$h$ をイソトピーで動かしても微分同相類は変わりませんが、$D^n$ を 2 つ、境界 $S^{n-1}$ の微分同相で貼り合わせて得られる多様体（ねじれ球面）が標準的な球面に微分同相でないことがあります。これがエキゾチック球面で、このテーマの最終章で扱います。

(c) 角の平滑化。 境界付き多様体の積 $X_1\times X_2$ は、$\partial X_1\times\partial X_2$ に沿って角を持ち、そのままでは境界付き多様体ではありません。角の近くはカラーにより $\partial X_1\times\partial X_2\times[0,1)^2$ の形をしているので、同相写像 $[0,1)^2\to\{(r\cos\theta,r\sin\theta):0\le\theta\le\pi\}$、$(r,\theta)\mapsto(r,2\theta)$（極座標で角度を 2 倍にする）で第 1 象限を上半平面に開いて境界付き多様体の構造を入れます。得られる構造が選択によらないことは、定理 7.2 と同じくカラーの一意性から従います。ハンドルを接着するとき（$D^\lambda\times D^{n-\lambda}$ を境界の一部で貼る）にこの操作が必要になります。

系 7.4（境界の一部に沿った貼り合わせ）✓

$X_1,X_2$ を境界付き多様体（コンパクトでなくてよい）、$M_i\subset\partial X_i$ を $\partial X_i$ のコンパクトな開かつ閉な部分集合（有限個の連結成分の合併）、$h\colon M_1\to M_2$ を微分同相とする。$X_1\sqcup X_2$ で $x\sim h(x)$（$x\in M_1$）を同一視した商空間を $W=X_1\cup_hX_2$ と書く。カラー $c_i\colon\partial X_i\times[0,1)\to X_i$ に対し、定義 7.1 と同じ式で $\kappa\colon M_1\times(-1,1)\to W$ を定め、$X_1\setminus M_1$、$X_2\setminus M_2$ のチャートと $\kappa^{-1}$ から作ったチャートをアトラスとする構造を、$(c_1,c_2)$ による貼り合わせの構造という。

1. $W$ は Hausdorff かつ第二可算で、貼り合わせの構造により、$(\partial X_1\setminus M_1)\sqcup(\partial X_2\setminus M_2)$ を境界とする境界付き多様体になる。$X_i\setminus M_i$ は $W$ の開集合で、その上で $W$ の構造は $X_i$ の構造に一致する。$X_1,X_2$ がコンパクトなら $W$ はコンパクトである。
2. 2 つのカラーの組 $(c_1,c_2)$、$(c_1',c_2')$ による構造を $W$、$W'$ と書くと、微分同相 $\Theta\colon W\to W'$ で、継ぎ目（$M_1$ の像）を含むあるコンパクト集合 $K\subset W\setminus\partial W$ の外で恒等写像であるものが存在する。
3. $X_1,X_2$ が向き付けられていて、$h$ が $M_1$、$M_2$ の境界の向きについて向きを逆にするならば（$\dim X_i=1$ のときは、定義 4.5［ストークスの定理］ の符号について $\varepsilon(h(x))=-\varepsilon(x)$ ならば）、$W$ は $X_1\setminus M_1$、$X_2\setminus M_2$ の向きを延ばす向きをただ 1 つ持つ。

証明（系 7.4）

1。 $W$ は 3 つの開集合 $X_1\setminus M_1$、$X_2\setminus M_2$、$\kappa$ の像の合併です（$M_i$ は $\partial X_i$ の開かつ閉な集合なので、$X_i\setminus M_i$ は境界 $\partial X_i\setminus M_i$ を持つ境界付き多様体で、その像は $W$ の開集合です）。$\kappa$ は開集合への同相写像で、$X_i\setminus M_i$ のチャートとの座標変換は $c_i$ のチャート表示なので滑らかです。3 つの開集合はどれも第二可算なので $W$ も第二可算です。Hausdorff 性は 定理 7.2 の証明と同じです。そこで使ったのは $c_1(M_1\times[0,\tfrac12])$ と $c_2(M_2\times[0,\tfrac12])$ がコンパクトで、したがって閉集合であることだけで、これは $M_i$ がコンパクトなら成り立ちます。境界チャートを持つのは $X_i\setminus M_i$ の境界点だけなので、境界は $(\partial X_1\setminus M_1)\sqcup(\partial X_2\setminus M_2)$ です。$X_1,X_2$ がコンパクトなら $W$ はコンパクト空間の連続像です。

2。 カラーを片側ずつ取り替えればよいので $c_2'=c_2$ とします（2 回の取り替えの微分同相を合成し、$K$ としてそれぞれのコンパクト集合の合併を取ります。合併の外ではどちらの微分同相も恒等写像です）。$X_i^{\circ}=X_i\setminus(\partial X_i\setminus M_i)$ は $M_i$ を境界とする境界付き多様体で、$c_i$、$c_1'$ の $M_i\times[0,1)$ への制限はそのカラーです。$W^{\circ}=W\setminus\partial W=X_1^{\circ}\cup_hX_2^{\circ}$ は境界のない多様体です。$\partial X_1^{\circ}=M_1$ はコンパクトなので、定理 4.2 (2) の $\varepsilon$ と族 $C$（$c_1|_{M_1\times[0,1)}$ と $c_1'|_{M_1\times[0,1)}$ を結ぶもの）が取れます。定理 7.2 の証明の第 1 段をそのまま行い（そこでコンパクト性は使っていません）、$\mathcal{W}=W^{\circ}\times\mathbb{R}$ に 3 種類のチャート (a) $\operatorname{Int}X_1\times\mathbb{R}$、(b) $\operatorname{Int}X_2\times\mathbb{R}$、(c) $\hat\kappa\colon M_1\times(-\varepsilon,\varepsilon)\times\mathbb{R}\to\mathcal{W}$ で構造を入れます。$\mathcal{W}$ は境界のない多様体で、位相は $W^{\circ}\times\mathbb{R}$ の積位相（3 種類のチャートはどれも積位相についての開集合への同相写像です）、射影 $\sigma\colon\mathcal{W}\to\mathbb{R}$ は沈め込み、$\sigma^{-1}(0)$ は $(c_1,c_2)$ による構造の $W^{\circ}$、$\sigma^{-1}(1)$ は $(c_1',c_2)$ による構造の $W^{\circ}$ です。

$\varepsilon_1=\varepsilon/3$、$\varepsilon_2=2\varepsilon/3$ とします。$P=\hat\kappa(M_1\times[-\varepsilon_2,\varepsilon_2]\times\mathbb{R})$ は、$M_1\times[-\varepsilon_2,\varepsilon_2]$ がコンパクトなので $\mathcal{W}$ の閉集合です（系 4.4 の証明の第 1 段と同じ議論）。滑らかな $\rho_0\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to[0,1]$ で $[-\varepsilon_1,\varepsilon_1]$ 上 $1$、$|t|\ge\varepsilon_2$ で $0$ となるものを取り、$\rho(\hat\kappa(x,t,s))=\rho_0(t)$、$\hat\kappa$ の像の外で $\rho=0$ とおくと、$\rho$ は $\mathcal{W}$ 上の滑らかな関数です。継ぎ目の外 $(\operatorname{Int}X_1\sqcup\operatorname{Int}X_2)\times\mathbb{R}$ の積の座標による $\partial/\partial s$ と、チャート (c) の座標による $\partial/\partial s$（$\Xi_c$ と書きます）から

$$\Xi=\rho\,\Xi_c+(1-\rho)\,\frac{\partial}{\partial s}$$

とおきます（第 2 項は、$\rho=1$ である継ぎ目の近傍では $0$ とします）。$\Xi$ は滑らかで $d\sigma(\Xi)=1$、$P$ の外では積の座標の $\partial/\partial s$ に等しいです。

$\Xi$ は完備です。$(w_0,s_0)$ を始点とする極大積分曲線を $\gamma(u)=(w(u),s_0+u)$（$u\in(a,b)$）とし、$b<\infty$ とします。$\gamma$ が $P$ の外にある間は $w$ は動かないので、系 4.4 の証明の第 3 段と同じく（最後に $P$ にいた時刻を取ります）、$u\in[0,b)$ について $w(u)$ は $w_0$ であるか、または $P\cap\sigma^{-1}([s_0,s_0+b])=\hat\kappa(M_1\times[-\varepsilon_2,\varepsilon_2]\times[s_0,s_0+b])$ の $W^{\circ}$ への射影 $K_1$ に入ります。$K_1$ はコンパクトなので、$\gamma([0,b))$ は $\mathcal{W}$ のコンパクト集合 $(K_1\cup\{w_0\})\times[s_0,s_0+b]$ に含まれ、補題 4.3 に反します。$a>-\infty$ の場合も同じです。

流れ $\theta_u$ について、$\theta_1$ は $\sigma^{-1}(0)$ を $\sigma^{-1}(1)$ に微分同相に写します（逆は $\theta_{-1}$）。$\theta_1(w,0)=(\Theta(w),1)$ で $\Theta\colon W^{\circ}\to W^{\circ}$ を定めると、これは $(c_1,c_2)$ による構造から $(c_1',c_2)$ による構造への微分同相です。$K$ を $\hat\kappa(M_1\times[-\varepsilon_2,\varepsilon_2]\times[0,1])$ の $W^{\circ}$ への射影（コンパクトで、$t=0$ の点として継ぎ目を含みます）とすると、$w\notin K$ なら $u\in[0,1]$ について $(w,u)\notin P$ なので $u\mapsto(w,u)$ が積分曲線で、$\Theta(w)=w$ です。

$\Theta$ を $\partial W$ の上で恒等写像として $W$ 全体に延ばします。$K$ は $W$ のコンパクト集合なので閉集合で、$W\setminus K$ は $\partial W$ を含む開集合です。$W\setminus K$ は継ぎ目と交わらないので、その上で 2 つの構造はどちらも $X_i\setminus M_i$ の構造に一致し（1）、恒等写像は 2 つの構造の間の微分同相です。$\Theta$ は $W^{\circ}$ の上で微分同相、$W\setminus K$ の上で恒等写像なので、$W$ から $W'$ への微分同相です。

3。 $\dim X_i=n\ge2$ とします。$c_1$ で $X_1$ の向きを $M_1\times[0,1)$ に引き戻します。カラーの座標を $t'$ とすると、$t'=0$ で外向きベクトルは $-\partial_{t'}$ なので、$M_1$ の境界の向きの正の基底 $(v_1,\dots,v_{n-1})$ について $(-\partial_{t'},v_1,\dots,v_{n-1})$ が正です。向きは連結成分（$M_1$ の成分と $[0,1)$ の積）の上で 1 点での値で決まるので、$M_1\times[0,1)$ 全体で同じ式が成り立ちます。$\kappa$ の座標 $t=-t'$ で書けば、$M_1\times(-1,0]$ の上で $(\partial_t,v_1,\dots,v_{n-1})$ が正です。同様に $X_2$ の向きを $c_2\circ(h\times\mathrm{id})$ で $M_1\times[0,1)$ に引き戻すと、$M_2$ の境界の向きを $h$ で引き戻した向きの正の基底 $(v_1',\dots,v_{n-1}')$ について $(-\partial_t,v_1',\dots,v_{n-1}')$ が正です。$h$ が向きを逆にするとき、$(v_1,\dots,v_{n-1})$ は $(v_1',\dots,v_{n-1}')$ と逆の向きなので、$(\partial_t,v_1,\dots,v_{n-1})$ はこちらでも正です。したがって $M_1\times(-1,1)$ に「$\partial_t$、$M_1$ の境界の向き」の順の積の向きを入れると、$\kappa$ を通して $X_1\setminus M_1$、$X_2\setminus M_2$ の向きと重なりの上で一致し、$W$ の向きが定まります。$X_i\setminus M_i$ は $W$ で稠密なので、延ばし方は一通りです。$n=1$ のときは、$x\in M_1$ で $-\partial_{t'}=\partial_t$ が $X_1$ の向きについて正であることが $\varepsilon(x)=+1$、$-\partial_t$ が $X_2$ の向きについて正であることが $\varepsilon(h(x))=+1$ なので、$\varepsilon(h(x))=-\varepsilon(x)$ のとき $\partial_t$ の正負が両側で一致します。

∎

8. 滑らかな近似

最後に、連続写像と滑らかな写像のホモトピー論が一致することを示します。これにより、代数的位相幾何学 で連続写像について定義した不変量（写像度、ホモトピー群の元）を、滑らかな代表元と横断性を使って計算できます。

定理 8.1（滑らかな近似（Whitney））✓

$X$ を境界付き多様体（境界は空でもよい）、$Y$ を境界のない多様体、$f\colon X\to Y$ を連続写像、$A\subset X$ を閉集合とし、$f$ は $A$ のある開近傍 $O$ の上で滑らかであるとする（$A=\varnothing$ でもよい）。

1. 滑らかな写像 $g\colon X\to Y$ と連続なホモトピー $H\colon X\times[0,1]\to Y$ で、$H_0=f$、$H_1=g$、かつ $A$ のある開近傍の上で $H_t=f$（すべての $t$）となるものが存在する。
2. $X$ に境界がなく、滑らかな写像 $f_0,f_1\colon X\to Y$ が連続なホモトピーで結べるならば、滑らかなホモトピーでも結べる。

証明（定理 8.1）

1。 $Y$ を $\mathbb{R}^N$ の閉部分多様体とみなし（定理 8.3［横断性］）、定理 7.3［横断性］ の開集合 $Y^\varepsilon$ と $\pi\colon Y^\varepsilon\to Y$ を取ります。$d(y)=\min\{1,\operatorname{dist}(y,\mathbb{R}^N\setminus Y^\varepsilon)\}$ は $Y$ 上の正の連続関数で、$y$ を中心とする半径 $d(y)$ の開球は $Y^\varepsilon$ に入ります。

各 $x_0\in X\setminus A$ に対し、$x_0$ の開近傍 $U_{x_0}\subset X\setminus A$ を、$x\in U_{x_0}$ なら $|f(x)-f(x_0)|<d(f(x))$ となるように取ります（$x=x_0$ で左辺は $0$、右辺は正で、両辺は連続です）。開被覆 $\{O\}\cup\{U_{x_0}\}$ に従属する 1 の分割を取り（補題 2.1［横断性］ (2)）、台が $O$ に入るものの和を $\rho_O$、残りを $\rho_j$（$\operatorname{supp}\rho_j\subset U_{x_j}$）とします。$\mathbb{R}^N$ 値の写像

$$\tilde g(x)=\rho_O(x)f(x)+\sum_j\rho_j(x)f(x_j)$$

は滑らかです（$\rho_Of$ は $O$ の外で $0$、$O$ の上で滑らか）。$\rho_j(x)>0$ なら $x\in U_{x_j}$ なので

$$|\tilde g(x)-f(x)|\le\sum_j\rho_j(x)|f(x_j)-f(x)|<d(f(x))$$

（$\rho_j(x)>0$ となる $j$ がなければ左辺は $0$）で、線分 $(1-t)f(x)+t\tilde g(x)$ は $Y^\varepsilon$ に入ります。$g=\pi\circ\tilde g$、$H(x,t)=\pi\bigl((1-t)f(x)+t\tilde g(x)\bigr)$ とおくと、$g$ は滑らかで、$H$ は連続、$H_0=\pi\circ f=f$、$H_1=g$ です。$\rho_j$ の台は $X\setminus A$ に入る局所有限な閉集合の族なので、その合併は閉集合で、補集合は $A$ の開近傍です。そこでは $\rho_O=1$、$\tilde g=f$ で、$H_t=f$ です。

2。 連続なホモトピー $H\colon X\times[0,1]\to Y$ に対し、$\chi$ を使って $H'(x,t)=H(x,\chi(t))$ とおくと、$H'\colon X\times\mathbb{R}\to Y$ は連続で、開集合 $O=X\times\bigl((-\infty,\tfrac14)\cup(\tfrac12,\infty)\bigr)$ の上では $f_0$ または $f_1$ と射影の合成なので滑らかです。1 を多様体 $X\times\mathbb{R}$、写像 $H'$、閉集合 $A=X\times\bigl((-\infty,\tfrac18]\cup[\tfrac34,\infty)\bigr)$ に使うと、滑らかな $G\colon X\times\mathbb{R}\to Y$ で $A$ の近傍の上で $G=H'$ となるものが得られます。$G(\cdot,0)=f_0$、$G(\cdot,1)=f_1$ なので、$G|_{X\times[0,1]}$ が滑らかなホモトピーです。

∎

系 8.2（滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類の一致）✓

$X,Y$ を境界のない多様体とする。滑らかな写像 $X\to Y$ の滑らかなホモトピー類の集合から、連続写像の（連続な）ホモトピー類の集合 $[X,Y]$ への自然な写像は全単射である。

証明（系 8.2）

全射性は 定理 8.1 (1)（$A=\varnothing$）、単射性は同じ定理の (2) です。

∎

9. 演習

演習 9.1標準

$f\colon X\to Y$ を境界のない多様体の間の滑らかな写像、$Z\subset Y$ を部分多様体とし、$f\pitchfork Z$ とする。$W=f^{-1}(Z)$ の法束について $\nu(W\subset X)\cong(f|_W)^{*}\nu(Z\subset Y)$ を示せ。とくに正則値 $c$ の逆像 $f^{-1}(c)$ の法束は自明である。

解答

$x\in W$ で、$df_x\colon T_xX\to T_{f(x)}Y$ と射影の合成 $T_xX\to T_{f(x)}Y/T_{f(x)}Z=\nu(Z\subset Y)_{f(x)}$ を考えます。横断性 $df_x(T_xX)+T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y$ からこれは全射で、核は $(df_x)^{-1}(T_{f(x)}Z)=T_xW$（定理 3.3［横断性］）です。よって $T_xX/T_xW\to\nu(Z\subset Y)_{f(x)}$ は線形同型で、これは $\nu(W\subset X)$ から $(f|_W)^{*}\nu(Z\subset Y)$ へのファイバーごとの同型を与えます。局所的には、$Z$ の局所定義関数 $g$（$\ker dg=TZ$）を使うと $\nu(Z\subset Y)$ は $dg$ で、$\nu(W\subset X)$ は $d(g\circ f)$ で自明化され、この自明化のもとで上の写像は恒等写像なので滑らかです。$Z=\{c\}$ のとき $\nu(Z\subset Y)=T_cY$ は 1 点上のベクトル空間で、その引き戻しは自明束 $W\times T_cY$ です。

演習 9.2易

$D^n$ のカラーを 2 つ、$c_0(x,t)=(1-t)x$ と $c_1(x,t)=(1-t^2/2-t/2)x$（$x\in S^{n-1}$、$0\le t<1$）で与える。どちらもカラーであることを確かめ、定理 4.2 (2) の意味で両者を結ぶカラーの族を、ベクトル場を使わずに直接書け。

解答

$r_0(t)=1-t$、$r_1(t)=1-t/2-t^2/2$ はどちらも $r(0)=1$、$r'<0$（$r_1'=-\tfrac12-t$）で、$[0,1)$ を区間 $(0,1]$ の中に単調に写します（$r_0\to0$、$r_1\to0$（$t\to1$））。極座標 $(x,r)\mapsto rx$ は $S^{n-1}\times(0,1]$ から $D^n\setminus\{0\}$ への微分同相なので、$c_i(x,t)=r_i(t)x$ は開集合 $D^n\setminus\{0\}$ への微分同相で、$c_i(x,0)=x$ です。族は $C(x,t,s)=\bigl((1-\chi(s))r_0(t)+\chi(s)r_1(t)\bigr)x$ で与えられます。半径の関数は $t$ について微分が負（負の関数の凸結合）なので、各 $s$ でカラーです。この例では $V_0=dc_0(\partial_t)=-\partial_r$、$V_1=-(\tfrac12+t)\partial_r$ はどちらも半径方向内向きで、定理の証明の $V'$ の積分曲線も半径方向に進みます（径数づけは上の $C$ と異なります）。

演習 9.3標準

定理 5.4 (2) は $\dim Y=1$ では成り立たないことを、$Y=\mathbb{R}$ と $Y=S^1$ のそれぞれについて、写せない点の組を挙げて示せ。

解答

$Y=\mathbb{R}$：恒等写像にイソトピックな微分同相 $\Phi_1$ は単調増加です（$\Phi_t'$ は $0$ にならず、$t=0$ で正）。したがって $(p_1,p_2)=(0,1)$ を $(q_1,q_2)=(1,0)$ に写せません。

$Y=S^1$：3 点 $p_1,p_2,p_3$ を反時計回りに並べ、$(q_1,q_2,q_3)=(p_1,p_3,p_2)$ とします。恒等写像にイソトピックな微分同相は向きを保つので、3 点の巡回順序を保ちます（$p_1$ を除いた開区間の上で単調増加だからです）。$(p_1,p_3,p_2)$ は巡回順序が逆なので写せません。2 点の組なら $S^1$ では回転と区間内の移動で写せます。$\dim Y\ge2$ で証明が通るのは、有限個の点を除いても連結であるからで、$1$ 次元ではこれが破れます。

演習 9.4標準

連続写像 $f\colon S^n\to S^n$ が全射でなければ、定値写像にホモトピックであることを示せ。また、$m<n$ のとき任意の連続写像 $S^m\to S^n$ は定値写像にホモトピックであること（$\pi_m(S^n)=0$）を、定理 8.1 と Sard の定理から導け。

解答

前半：$f$ の像が $q\in S^n$ を含まないとします。$S^n\setminus\{q\}$ は立体射影で $\mathbb{R}^n$ に同相で、$\mathbb{R}^n$ は 1 点に可縮（$H(y,t)=(1-t)y$）なので、$f$ は定値写像にホモトピックです。

後半：定理 8.1 (1) により $f$ は滑らかな $g\colon S^m\to S^n$ にホモトピックです。$m<n$ なので $dg$ はどの点でも全射でなく、$g(S^m)$ は臨界値だけからなり、Sard の定理（定理 7.4［部分多様体と正則値定理］）により測度 $0$ です。とくに $g$ は全射でなく、前半から $g$ は定値写像にホモトピックです。連続写像のままでは、像が $S^n$ 全体を覆う $m<n$ の写像（空間充填曲線の類）がありうるので、滑らかな近似を経由することが本質的です。

参考文献

• M. W. Hirsch, Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1976 — Chapter 4（ベクトル束と管状近傍）、Chapter 8（イソトピー、カラー、貼り合わせ、円板定理）。
• A. A. Kosinski, Differential Manifolds, Academic Press, 1993 — Chapter III（法束と管状近傍）、Chapter VI（連結和と貼り合わせ）。
• J. W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, University Press of Virginia, 1965 — §4（等質性の補題）。
• V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974 — Chapter 2 §3（ε 近傍定理と管状近傍）。
• R. S. Palais, “Extending diffeomorphisms”, Proceedings of the American Mathematical Society 11 (1960), 274–277.
• J. Cerf, “Topologie de certains espaces de plongements”, Bulletin de la Société Mathématique de France 89 (1961), 227–380.