イソトピー・ディフェオトピー・時間に依存するベクトル場

$Z,Y$ を境界のない多様体、$J$ を $[0,1]$ を含む開区間とする。

1. 滑らかな写像 $F\colon Z\times J\to Y$ で、各 $F_t=F(\cdot,t)$ が埋め込みであるものを（$J$ 上の）イソトピーという。
2. 滑らかな写像 $\Phi\colon Y\times J\to Y$ で、各 $\Phi_t$ が $Y$ の微分同相、$\Phi_0=\mathrm{id}$ であるものを $Y$ のディフェオトピー（またはアンビエントイソトピー）という。あるコンパクト集合の外ですべての $\Phi_t$ が恒等写像であるとき、台がコンパクトであるという。
3. 埋め込み $f_0,f_1\colon Z\to Y$ と部分集合 $K\subset Z$ について、$Y$ の台がコンパクトなディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1\circ f_0|_K=f_1|_K$ となるものがあるとき、$f_0$ と $f_1$ は $K$ の上でアンビエントイソトピックであるという。
4. 滑らかな写像 $V\colon Y\times J\to TY$ で $V(y,t)\in T_yY$ となるものを時間に依存するベクトル場といい、$V_t=V(\cdot,t)$ と書く。