境界に沿った貼り合わせ

$X_1,X_2$ を境界付き多様体、$h\colon\partial X_1\to\partial X_2$ を微分同相とする。非交和 $X_1\sqcup X_2$ で $x\sim h(x)$（$x\in\partial X_1$）を同一視した商空間を $X_1\cup_hX_2$ と書く。カラー $c_i\colon\partial X_i\times[0,1)\to X_i$ を取り、

とおく。$\operatorname{Int}X_1$、$\operatorname{Int}X_2$ のチャートと、$\kappa^{-1}$ に $\partial X_1\times(-1,1)$ のチャートを合成したものをアトラスとする滑らかな構造を、$(c_1,c_2)$ による貼り合わせの構造という。