閉曲面の分類定理

定理 7.5（「ハンドル分解と手術」§7）・ ✓公理まで証明済み

連結な閉曲面 $M$ は、次のどれかちょうど 1 つに微分同相である。

球面 $S^2=\Sigma_0$ 、またはトーラスの $g$ 個の連結和 $\Sigma_g$ （ $g\ge1$ ）。これらは向き付け可能で $\chi(\Sigma_g)=2-2g$ 。
射影平面の $k$ 個の連結和 $N_k$ （ $k\ge1$ ）。これらは向き付け不可能で $\chi(N_k)=2-k$ 。

とくに、連結な閉曲面は向き付け可能性と Euler 標数で微分同相を除いて決まる。また $T^2\#\mathbb{R}P^2\cong\mathbb{R}P^2\#\mathbb{R}P^2\#\mathbb{R}P^2$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 320 件、定義なども含めて 363 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

境界の成分はグラフで数えられる✓補題 7.10・ハンドル分解と手術
- 跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
- 境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 手術とその跡定義 3.2・ハンドル分解と手術
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
貼り合わせた同境の上の Morse 関数✓補題 7.7・ハンドル分解と手術
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
閉曲面と語✓補題 7.8・ハンドル分解と手術
- 語が曲面を決める✓補題 7.2・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる✓系 5.9・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 双対ハンドル分解✓命題 6.2・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
- 貼り合わせた同境の上の Morse 関数✓補題 7.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
- 境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
トーラスと射影平面の Euler 標数✓補題 7.9・ハンドル分解と手術
- Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度この先をたどる →
- 射影空間の Euler 標数✓補題 2.7・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
- Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
Euler 標数のホモロジー表示✓系 4.3・胞体ホモロジーと写像度
- Hopf のトレース公式✓定理 4.1・胞体ホモロジーと写像度
- 胞体ホモロジー定理✓定理 3.4・胞体ホモロジーと写像度この先をたどる →
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
語の標準形✓命題 7.4・ハンドル分解と手術
- 境界の成分はグラフで数えられる✓補題 7.10・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 帯の滑らせの規則✓補題 7.3・ハンドル分解と手術この先をたどる →
語が曲面を決める✓補題 7.2・ハンドル分解と手術
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 円周の微分同相✓補題 7.1・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術この先をたどる →
連結和は矛盾なく定まる✓系 6.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論この先をたどる →
Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成この先をたどる →
双対ハンドル分解✓命題 6.2・ハンドル分解と手術
- ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論この先をたどる →
- ハンドル鎖複体✓命題 6.1・ハンドル分解と手術この先をたどる →
- 交点数の対称性✓命題 3.5・交点数と写像度この先をたどる →
境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

これを使っている定理証明で参照している 3 件

次元 2 以下の同境群✓定理 2.9・同境と Pontryagin–Thom 構成
平面の中の円周は円板を囲む✓補題 4.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
Heegaard 分解の存在✓定理 8.1・ハンドル分解と手術

閉曲面の分類定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件