数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

Morse 関数の存在と稠密性

定理 4.1（「Morse 理論」§4） ・ ✓公理まで証明済み

MM をコンパクトな mm 次元多様体、F=(F1,…,FN) ⁣:M→RNF=(F_1,\dots,F_N)\colon M\to\mathbb{R}^N を埋め込み（定理 8.1［部分多様体と正則値定理］ により存在する）、f ⁣:M→Rf\colon M\to\mathbb{R} を滑らかな関数とする。a∈RNa\in\mathbb{R}^N に対し

fa=f+⟨a,F⟩=f+a1F1+⋯+aNFNf_a=f+\langle a,F\rangle=f+a_1F_1+\cdots+a_NF_N

とおく。faf_a が Morse 関数でないような aa の集合は RN\mathbb{R}^N で測度 00 である。とくに、

  1. MM 上に Morse 関数が存在する（f=0f=0 とすれば、ほとんどすべての 1 次関数 ⟨a,F⟩\langle a,F\rangle が Morse）。
  2. 任意の δ>0\delta>0 に対し ∣a∣<δ|a|<\delta で faf_a が Morse となる aa が存在する。このとき、任意のチャート (U,x)(U,x)、コンパクト集合 K⊂UK\subset U、多重指数 α\alpha について sup⁡x(K)∣∂α((fa−f)∘x−1)∣≤∣a∣⋅sup⁡x(K)(∑l∣∂α(Fl∘x−1)∣2)1/2\sup_{x(K)}|\partial^\alpha((f_a-f)\circ x^{-1})|\le|a|\cdot\sup_{x(K)}\bigl(\sum_l|\partial^\alpha(F_l\circ x^{-1})|^2\bigr)^{1/2} であり、ff にいくらでも近い（任意階の導関数まで込めて）Morse 関数がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件