境界の成分はグラフで数えられる

補題 7.10（「ハンドル分解と手術」§7）・ ✓公理まで証明済み

$w$ を $m\ge1$ 文字の語とする。各隙間は $\partial W(w)$ の連結な開集合で、2 つの隙間が $\partial W(w)$ の同じ連結成分に含まれることと、 $\Gamma(w)$ の同じ連結成分に属することは同値であり、 $\partial W(w)$ のどの連結成分も隙間を含む。とくに $\partial W(w)$ の連結成分の個数は $\Gamma(w)$ の連結成分の個数に等しい。
$w=B\,T$ で、 $B$ の各文字が $B$ の中に 2 回現れる（したがって $T$ の各文字も $T$ の中に 2 回現れる）とき、 $\partial W(B)$ 、 $\partial W(T)$ 、 $\partial W(BT)$ の連結成分の個数 $\beta(B)$ 、 $\beta(T)$ 、 $\beta(BT)$ について $\beta(BT)=\beta(B)+\beta(T)-1$ である（空の語については $\beta=1$ ）。
$\partial W(c\,c)$ と $\partial W(a\,b\,a^{-1}\,b^{-1})$ は連結である。
$w=a\,U\,a^{-1}\,V$ で、 $a$ 以外のどの文字も、2 つの足がともに $U$ にあるか、ともに $V$ にあるならば、 $\partial W(w)$ は連結でない。
（1 の点集合としての形） $w$ を $m\ge1$ 文字の語、足 $\varphi_j(\{u\}\times D^1)$ の指数を $\iota_{j,u}$ とする。 $\partial W(w)=\chi(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m)$ は、点集合として、隙間の全体の和と、 $2m$ 個の点 $n_{j,v}$ （ $j$ 番目の $\mathring D^1\times S^0$ のコピーの点 $(0,v)$ 、 $v=\pm1$ ）の非交和である。 $n_{j,v}$ の近傍の基は、 $n_{j,v}$ と、 $u=\pm1$ のそれぞれについて足 $(j,u)$ の中心から「 $v\,\iota_{j,u}=1$ なら後ろの隙間、 $v\,\iota_{j,u}=-1$ なら前の隙間」の中へ延びる短い弧（中心は含まない）とを合わせた集合で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 96 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
  - ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
    閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性この先をたどる →
    引き戻し・部分束・商束はベクトル束✓補題 2.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性
    コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
- カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
手術とその跡定義 3.2・ハンドル分解と手術
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性

これを使っている定理証明で参照している 3 件

帯の滑らせの規則✓補題 7.3・ハンドル分解と手術
語の標準形✓命題 7.4・ハンドル分解と手術
閉曲面の分類定理✓定理 7.5・ハンドル分解と手術

境界の成分はグラフで数えられる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件