手術とその跡

$M$ を $(n-1)$ 次元多様体、$\varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M$ を埋め込みとする。

1. $M$ に $\varphi$ に沿って手術（球面改変）をした多様体 $\chi(M,\varphi)$ を、非交和 $\bigl(M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0)\bigr)\sqcup\bigl(\mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1}\bigr)$ で $\varphi(u,\theta v)$ と $(\theta u,v)$（$0\lt\theta\lt1$）を同一視した商として定める。
2. 手術の跡 $\omega(M,\varphi)$ を、非交和 $\bigl((M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0))\times[-1,1]\bigr)\sqcup L_\lambda$ で、$0\lt\theta\lt1$、$c\in[-1,1]$ について $(\varphi(u,\theta v),c)$ と「$a_-(u,\theta v)$ を通る $\eta_\lambda$ の流線の上で $q_\lambda=c$ となる点」を同一視した商として定める。関数 $F\colon\omega(M,\varphi)\to[-1,1]$ を、$F(z,c)=c$、$L_\lambda$ 上 $F=q_\lambda$ で定める。

互いに交わらない像をもつ有限個の埋め込み $\varphi_1,\dots,\varphi_k$（指数は $\lambda_1,\dots,\lambda_k$）に対しても、$L_{\lambda_i}$ のコピーを $k$ 個使って同じように $\chi(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k)$、$\omega(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k)$ を定める。