パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ

系 8.5（「解の存在と一意性」§8）・ ✓公理まで証明済み

$P\subset\mathbb{R}^m$ を開集合とし、 $f(x,y,\lambda)$ が開集合 $D\times P$ 上で $(x,y,\lambda)$ について $C^k$ 級（ $k\ge1$ ）なら、 $y'=f(x,y,\lambda)$ 、 $y(x_0)=y_0$ の解 $\varphi(x;x_0,y_0,\lambda)$ は、定義される開集合の上で $(x,x_0,y_0,\lambda)$ について $C^k$ 級である。
自励系 $y'=f(y)$ で $f\in C^\infty(U)$ なら、命題 7.2 の流れ $(t,y)\mapsto\Phi_t(y)$ はその定義域（開集合）上で $C^\infty$ 級で、 $\Phi_t$ はその定義域から値域への $C^\infty$ 級の微分同相（逆は $\Phi_{-t}$ ）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 64 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

パラメータへの CkC^kCk 依存性と滑らかな流れ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件