語の標準形

命題 7.4（「ハンドル分解と手術」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\partial W(w)$ が連結な語 $w$ は、補題 7.3 の書き換えと文字の名前・指数の付け替えで、

c_1c_1\cdots c_kc_k\quad(k\ge1)\qquad\text{または}\qquad a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}\quad(g\ge0)

のどちらかに直せる。 $w$ にねじれた文字があれば前者、無ければ後者になり、文字の個数は変わらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 188 件、定義なども含めて 217 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

境界の成分はグラフで数えられる✓補題 7.10・ハンドル分解と手術
- 跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
- 境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
    コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性この先をたどる →
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
  - カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
    コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
- 手術とその跡定義 3.2・ハンドル分解と手術
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
帯の滑らせの規則✓補題 7.3・ハンドル分解と手術
- 境界の成分はグラフで数えられる✓補題 7.10・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
- 手術とその跡定義 3.2・ハンドル分解と手術
- 同時に貼ることと順に貼ること✓補題 5.7・ハンドル分解と手術
  - 跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ハンドルの並べ替え✓定理 4.1・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術
  - イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性この先をたどる →
  - 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性この先をたどる →
  - 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性この先をたどる →
- 語が曲面を決める✓補題 7.2・ハンドル分解と手術
  - 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 円周の微分同相✓補題 7.1・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
  - ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 円周の微分同相✓補題 7.1・ハンドル分解と手術
  - ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

閉曲面の分類定理✓定理 7.5・ハンドル分解と手術

語の標準形

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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