コンパクトな 1 次元多様体の分類
コンパクトで連結な 1 次元の境界付き多様体 （境界は空でもよい）は、円周 か閉区間 のどちらかに微分同相である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 33 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性 この先をたどる →
- 連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性 この先をたどる →
- 同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係 この先をたどる →
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
中間値の定理✓定理 6.1・連結性
- R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性（上で展開済み）
2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性
- 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性（上で展開済み）
- 分離と連結性定義 2.1・連結性
コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
これを使っている定理 証明で参照している 8 件
- 次元 2 以下の同境群✓定理 2.9・同境と Pontryagin–Thom 構成
- Hopf の写像度定理（一般の定義域）✓系 4.1・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる✓系 5.9・ハンドル分解と手術
- 帯の滑らせの規則✓補題 7.3・ハンドル分解と手術
- 1 次元の逆像の境界の符号✓補題 3.3・交点数と写像度
- 零点のないベクトル場の存在✓定理 7.7・交点数と写像度
- 1 次元多様体の境界の点は偶数個✓系 4.5・横断性
- 2 点での貼り合わせは S² × S¹ との連結和✓補題 3.3・ポアンカレ予想 III