数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

1 次元の逆像の境界の符号

補題 3.3（「交点数と写像度」§3）・ ✓公理まで証明済み

定義 3.2 の状況で、 $V$ はコンパクト、 $Z$ は閉部分多様体、 $\dim V=\operatorname{codim}Z+1$ とし、 $n=\operatorname{codim}Z=\dim\partial V$ とおく。 $\partial V$ に境界の向き（定義 4.5［ストークスの定理］）を入れると、逆像の向きを持つ 1 次元多様体 $A$ の境界点 $a\in\partial A=(\partial F)^{-1}(Z)$ の符号 $\varepsilon(a)$ は

\varepsilon(a)=(-1)^n\operatorname{sign}_a(\partial F,Z)

を満たす。したがって

\sum_{a\in(\partial F)^{-1}(Z)}\operatorname{sign}_a(\partial F,Z)=0 .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性
  - R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
    上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性
    連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性この先をたどる →
    貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性この先をたどる →
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - 中間値の定理✓定理 6.1・連結性
    R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性（上で展開済み）
    連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性この先をたどる →
- 2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性
  - 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性（上で展開済み）
  - 分離と連結性定義 2.1・連結性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 1 件

向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理✓定理 3.4・交点数と写像度