R の連結部分集合の決定
とします。 が連結であることと、 が区間であること、すなわち
が成り立つことは同値です。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
これを使っている定理 証明で参照している 8 件
- 弧長パラメータ表示の存在と取り替え✓補題 4.2・横断性
- 円周上の関数環の K 群✓命題 6.3・K-理論入門
- 中間値の定理✓定理 6.1・連結性
- 弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
- 連結だが弧状連結でない空間✓命題 8.2・連結性
- トポロジストの正弦曲線は局所連結でない✓命題 9.8・連結性
- 長い半直線・長い直線の性質✓命題 5.5・反例の空間
- 櫛空間は可縮だが局所連結でない✓命題 6.2・反例の空間