長い半直線・長い直線の性質
長い半直線 と長い直線 について、次が成り立つ。
- はハウスドルフである。 の各点は、 または に同相な開近傍をもつ。
- は連結である。
- は点列コンパクトであるが、コンパクトでない。
- は距離化可能でなく、パラコンパクトでもない。
- はハウスドルフで、各点が に同相な開近傍をもち（1 次元の位相多様体の局所条件）、連結である。 は点列コンパクトで、コンパクトでなく、距離化可能でなく、パラコンパクトでもない。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 57 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 13 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 順序位相はハウスドルフ✓命題 5.8・位相空間の定義と基本概念
長い半直線の切片は区間と順序同型✓補題 5.3・反例の空間
- 超限帰納法✓定理 4.1・選択公理と Zorn の補題
- 凸部分集合の部分空間位相✓補題 5.2・反例の空間
実数の順序位相は通常の位相✓補題 5.7・位相空間の定義と基本概念
- 位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
の可算部分集合は上に有界✓補題 2.2・反例の空間
高々可算集合の可算和✓命題 5.8・濃度と無限
- 整列性公理 3.1・証明の技術
自然数の対の全体は可算✓補題 5.4・濃度と無限
- カントール–シュレーダー–ベルンシュタインの定理✓定理 3.5・濃度と無限
距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
コンパクト性の諸概念の含意✓命題 3.3・可算性・点列・可算コンパクト性
- 可算コンパクト性の同値条件✓定理 3.2・可算性・点列・可算コンパクト性
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
パラコンパクトな可算コンパクト空間はコンパクト✓補題 5.4・反例の空間
- 可算コンパクト性の同値条件✓定理 3.2・可算性・点列・可算コンパクト性
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
パラコンパクト性の遺伝・積・σ コンパクト空間✓命題 8.1・パラコンパクト空間と 1 の分割
積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
完全正則性の遺伝と十分条件✓命題 2.4・完全正則空間と埋め込み定理
- 正則・正規と T3・T4定義 4.1・分離公理と距離づけ可能性
- 積位相の開基✓命題 3.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理（上で展開済み）
Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間
- コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間 この先をたどる →
- 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
- コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
- ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性（上で展開済み）
正則 Lindelöf 空間はパラコンパクト✓系 4.2・パラコンパクト空間と 1 の分割
- 第一可算・第二可算・可分・Lindelöf定義 7.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- Michael の定理✓定理 4.1・パラコンパクト空間と 1 の分割 この先をたどる →
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。