数学 › 位相空間論 › パラコンパクト空間と 1 の分割

Michael の定理

定理 4.1（「パラコンパクト空間と 1 の分割」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を正則空間とする。次の 4 条件は同値である。

$X$ はパラコンパクトである。
$X$ の任意の開被覆は、 $\sigma$ 局所有限な開細分を持つ。
$X$ の任意の開被覆は、局所有限な細分（開集合とは限らない）を持つ。
$X$ の任意の開被覆は、局所有限な閉細分（閉集合からなる細分）を持つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性
- 正則・正規と T3・T4定義 4.1・分離公理と距離づけ可能性
局所有限族の閉包✓補題 3.1・パラコンパクト空間と 1 の分割
- 内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
  - 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
  - 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
    ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語この先をたどる →
  - 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念

これを使っている定理証明で参照している 3 件

正則 Lindelöf 空間はパラコンパクト✓系 4.2・パラコンパクト空間と 1 の分割
A. H. Stone の定理✓定理 5.1・パラコンパクト空間と 1 の分割
パラコンパクト性と全体正規性（A. H. Stone）✓定理 7.1・パラコンパクト空間と 1 の分割