数学 › 位相空間論 › 可算性・点列・可算コンパクト性

可算コンパクト性の同値条件

定理 3.2（「可算性・点列・可算コンパクト性」§3）・ ✓公理まで証明済み

位相空間 $X$ について、次の 4 条件は同値である。

(a) $X$ は可算コンパクトである。
(b) $X$ の任意の無限部分集合は $X$ に $\omega$ 集積点をもつ。
(c) $X$ の任意の点列は $X$ に集積点をもつ。
(d) 空でない閉集合の減少列 $F_1 \supseteq F_2 \supseteq \cdots$ の共通部分は空でない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 3 件

コンパクト性の諸概念の含意✓命題 3.3・可算性・点列・可算コンパクト性
T4 空間では擬コンパクトと可算コンパクトは同値✓命題 3.4・可算性・点列・可算コンパクト性
パラコンパクトな可算コンパクト空間はコンパクト✓補題 5.4・反例の空間