数学 › 位相空間論 › 局所コンパクト空間

一点コンパクト化の性質

定理 3.2（「局所コンパクト空間」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をハウスドルフ空間とする。

$\tau^{*}$ は $X^{*}$ の位相であり、 $X$ は $X^{*}$ の開部分空間で、その相対位相は $X$ の元の位相に一致する。
$X^{*}$ はコンパクトである。 $X$ がコンパクトでなければ、 $X$ は $X^{*}$ で稠密である。
$X^{*}$ がハウスドルフであるための必要十分条件は、 $X$ が局所コンパクトであることである。
（一意性） $Y$ をコンパクトハウスドルフ空間、 $y \in Y$ とし、 $h : X \to Y \setminus \{y\}$ を同相写像とする。このとき $h$ の拡張 $H : X^{*} \to Y$ （ $H(\infty) = y$ ）は同相写像である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 3 件

球面のスマッシュ積✓命題 2.3・ホモトピー群とファイブレーション
ℝⁿ 上の Helly の選出定理✓系 7.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

関連するノック 3 問