交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理

0. この記事の要点

曲線と曲線が平面の中で交わる点の数は、曲線を少し動かすと増えたり減ったりします。ところが、交わりの向きに応じて $+1$ と $-1$ を割り当てて足すと、動かしても変わらない整数が残ります。この記事は、この「動かしても変わらない交わりの数え方」を多様体の一般の次元で作り、それを使って、閉曲面の内と外の区別、地球上で気温と気圧が対蹠点で等しい場所があること、ベクトル場の零点の個数と Euler 標数の関係といった、見かけの違う問題を同じ道具で示します。

以下は結果の一覧です。

• コンパクトな $X$ からの写像 $f\colon X\to Y$ と閉部分多様体 $Z\subset Y$ が相補的な次元（$\dim X+\dim Z=\dim Y$）を持ち横断的（$f$ の像が $Z$ とつぶれずに交わること）なら、$f^{-1}(Z)$ は有限個の点です。その個数の偶奇（mod 2 交点数）と、向きがあるときの符号つきの個数（交点数）は、$f$ のホモトピーで変わりません。
• 証明は 1 つの事実に尽きます。ホモトピーによる逆像はコンパクトな 1 次元多様体で、その境界の点は偶数個、向きを付ければ符号の和が $0$ です。
• $Z$ が 1 点のときの交点数が写像度です。正則値の逆像を符号つきで数えたものは正則値によらず、$\int_Xf^{*}\omega=\deg f\int_Y\omega$ を満たし、球面ではホモロジーで定義した写像度に一致します。
• mod 2 の回転数で、$\mathbb{R}^n$ のコンパクトな超曲面の「内側」と「外側」を判定できます（滑らかな Jordan–Brouwer の分離定理）。奇写像 $S^k\to S^k$ の写像度は奇数です（Borsuk–Ulam の定理）。
• 閉多様体上の孤立零点を持つベクトル場の指数の和は Euler 標数に等しく（Poincaré–Hopf の定理）、どこでも $0$ でないベクトル場があることと $\chi=0$ は同値です。
• 絡み数は、写像度・Seifert 膜（一方の輪を縁とする曲面）との交点数・Gauss の積分の 3 通りに表せます。不動点の局所 Lefschetz 数は $\operatorname{sign}\det(df_x-I)$ です。

この記事で使う事前知識

• 横断的: 2 つの部分多様体が交点で接空間を合わせると全体の接空間になる、というつぶれのない交わり方。→ 横断性
• 正則値: その逆像のどの点でも写像の微分が全射になっているような値。→ 正則値
• 滑らかなホモトピー: 写像を滑らかに連続変形する族。→ 滑らかなホモトピー
• 境界付き多様体: 円板のように縁を持つ多様体。→ 境界付き多様体
• 写像度: 球面などの間の写像が、ホモロジーで何回まわるかを表す整数。→ 写像度
• Euler 標数: 胞体の個数の交代和（Betti 数の交代和）。→ Euler 標数

1. 動機

代数学の基本定理を思い出します。$n$ 次の複素多項式は、重複度を込めて数えるとちょうど $n$ 個の根を持ちます。「重複度を込めて」という但し書きが要るのは、係数を動かすと 2 つの根がぶつかって 1 つになるからです。それでも総数 $n$ は変わりません。変形で変わらない「正しい個数」があり、それは根が単純なとき（一般の位置にあるとき）に素朴に数えた個数に一致する、という構図です。

実数の世界ではこれほどうまくいきません。$x^2-t$ の実根は $t$ の符号によって $2$ 個か $0$ 個です。しかし偶奇は変わりません。さらに、グラフが $x$ 軸を上向きに横切る交点を $+1$、下向きを $-1$ と数えれば、和は $0$ のまま変わりません。

交点数はこの考えを一般の多様体で実行したものです。横断性 の記事で、(1) 一般の位置では逆像は多様体、(2) どの写像も一般の位置に動かせる、(3) コンパクトな 1 次元多様体の境界点は偶数個、の 3 つを用意しました。この記事はその応用編で、写像度、分離定理、不動点、ベクトル場の零点、絡み目といった古典的な不変量が、すべて同じ仕組みで定義でき、同じ仕組みでホモトピー不変になることを示します。

この記事を通じて、多様体は滑らか・Hausdorff・第二可算、写像は滑らかとします。代数的位相幾何学 の写像度は連続写像に対して定義されていますが、連続写像は滑らかな写像にホモトピックで、滑らかなホモトピー類と連続なホモトピー類は一致するので（系 8.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］）、滑らかな写像だけを考えても失うものはありません。滑らかにホモトピックであることは同値関係です（2 つのホモトピーは、径数を端の近くで止まるように取り替えてからつなげば滑らかです）。

2. mod 2 交点数

定義 2.1（mod 2 交点数）↗

$X$ をコンパクトな境界のない多様体、$Y$ を境界のない多様体、$Z\subset Y$ を境界のない閉部分多様体とし、$\dim X+\dim Z=\dim Y$ とする。滑らかな写像 $f\colon X\to Y$ が $f\pitchfork Z$ を満たすとき、$f^{-1}(Z)$ は $X$ のコンパクトな $0$ 次元部分多様体（定理 3.3［横断性］）、すなわち有限集合である。その元の個数を $2$ で割った余りを

$$I_2(f,Z)=\#f^{-1}(Z)\bmod2\in\mathbb{Z}/2$$

と書き、$f$ と $Z$ の mod 2 交点数という。一般の $f$ に対しては、$f$ にホモトピックで $Z$ に横断的な $g$ を取り（定理 9.1［横断性］）、$I_2(f,Z)=I_2(g,Z)$ と定める。$X$ が $Y$ のコンパクトな部分多様体のときは、包含写像を $f$ として $I_2(X,Z)$ と書く。

定理 2.2（mod 2 交点数のホモトピー不変性）✓

定義 2.1 の状況で、$f_0,f_1\colon X\to Y$ がともに $Z$ に横断的でホモトピックならば $\#f_0^{-1}(Z)\equiv\#f_1^{-1}(Z)\pmod2$ である。したがって $I_2(f,Z)$ は $g$ の取り方によらず定まり、ホモトピックな写像の mod 2 交点数は等しい。

証明（定理 2.2）

$F\colon X\times[0,1]\to Y$ を $f_0$ から $f_1$ へのホモトピーとします。$X\times[0,1]$ は境界 $X\times\{0\}\sqcup X\times\{1\}$ を持つコンパクトな境界付き多様体で（補題 2.1［横断性］）、$\partial F$ は $f_0$ と $f_1$ なので $Z$ に横断的です。系 9.4［横断性］ により、$G\pitchfork Z$ かつ $\partial G=\partial F$ となる $G\colon X\times[0,1]\to Y$ があります。定理 3.8［横断性］ により $G^{-1}(Z)$ は $(\dim X+1)-\operatorname{codim}Z=1$ 次元のコンパクトな境界付き多様体で、

$$\partial\bigl(G^{-1}(Z)\bigr)=G^{-1}(Z)\cap\partial(X\times[0,1])=f_0^{-1}(Z)\times\{0\}\ \sqcup\ f_1^{-1}(Z)\times\{1\}$$

です。コンパクトな 1 次元多様体の境界の点は偶数個なので（系 4.5［横断性］）、$\#f_0^{-1}(Z)+\#f_1^{-1}(Z)$ は偶数です。後半は、ホモトピックであることが同値関係であることから従います。

∎

下の動画は $X=Y=S^1$、$f_t(\theta)=\theta+A(t)\sin\theta$（$A(t)=1.8\sin\pi t$）、$Z=\{y\}$ の場合です。赤い水平線の高さ $t$ が上がるにつれ、右の円周上の点 $f_t^{-1}(y)$ の個数が 1、3、1 と変わります。左の曲線 $G^{-1}(y)$ では、増減は曲線の折り返しと閉じた輪で起こり、端点は $t=0,1$ の 2 つだけです。

$t$ を動かしたときの $f_t^{-1}(y)$。個数は 1 → 3 → 1 と変わるが、$t=0$ と $t=1$ の個数の和 2 は偶数のまま。

定理 2.3（境界定理（mod 2））✓

$W$ をコンパクトな境界付き多様体、$X=\partial W$ とし、$Y,Z$ を 定義 2.1 のとおり（$\dim X+\dim Z=\dim Y$）とする。滑らかな写像 $f\colon X\to Y$ が滑らかな写像 $F\colon W\to Y$ に拡張できるならば、$I_2(f,Z)=0$ である。

証明（定理 2.3）

定理 9.1［横断性］ を $F$ に使うと、$F$ にホモトピックな $G\colon W\to Y$ で $G\pitchfork Z$、$\partial G\pitchfork Z$ となるものがあります。ホモトピーを $\partial W$ に制限すれば $\partial G$ は $f$ にホモトピックなので、$I_2(f,Z)=\#(\partial G)^{-1}(Z)\bmod2$ です。$G^{-1}(Z)$ はコンパクトな 1 次元の境界付き多様体で、境界は $(\partial G)^{-1}(Z)$ なので、その個数は偶数です。

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例 2.4（トーラス上の閉曲線・Möbius の帯の中心円）

(a) トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の中で、$X=S^1\times\{1\}$ と $Z=\{1\}\times S^1$ は 1 点 $(1,1)$ で横断的に交わるので $I_2(X,Z)=1$ です。したがって $X$ をどうホモトピーで動かしても $Z$ から離せません。とくに $X$ は 1 点にホモトピックではありません（定値写像は、値を $Z$ の外に取れば交点数 $0$ です）。

(b) Möbius の帯の中心円 $C$ の自己交点数 $I_2(C,C)$ を求めます。$C$ を法束（帯の幅方向）の切断で少し押した曲線 $C'$ は、切断が奇数回 $0$ を横切るので $C$ と奇数個の点で交わり、たとえば 1 点で横断的に交わるように取れます。よって $I_2(C,C)=1$ です。円柱の中心円では $C'$ を平行にずらせるので $I_2(C,C)=0$ です。mod 2 の自己交点数は、法束が自明でないことを検出します。

$Z$ が 1 点の場合が mod 2 写像度です。

定義 2.5（mod 2 写像度）↗

$X,Y$ を同じ次元のコンパクトな境界のない多様体、$Y$ は連結とする。滑らかな写像 $f\colon X\to Y$ と $y\in Y$ に対し $\deg_2f=I_2(f,\{y\})$ を $f$ の mod 2 写像度という。

$f\pitchfork\{y\}$ は $y$ が $f$ の正則値であることなので、正則値 $y$ については $\deg_2f=\#f^{-1}(y)\bmod2$ です。$y$ によらないことは、向きのある場合と合わせて 命題 4.2 で示します。

3. 向き付きの交点数

3.1. 交わりの符号と逆像の向き

定義 3.1（交わりの符号と向き付きの交点数）↗

定義 2.1 の状況で、さらに $X,Y,Z$ が向き付けられているとする。$f\pitchfork Z$、$x\in f^{-1}(Z)$、$z=f(x)$ のとき、次元の関係から $df_x$ は単射で $df_x(T_xX)\oplus T_zZ=T_zY$ である。$T_xX$ の正の基底 $(v_1,\dots,v_k)$ と $T_zZ$ の正の基底 $(w_1,\dots,w_l)$ について、

$$\bigl(df_x(v_1),\dots,df_x(v_k),w_1,\dots,w_l\bigr)$$

が $T_zY$ の正の基底であるとき $\operatorname{sign}_x(f,Z)=+1$、負の基底であるとき $-1$ と定め、交わりの符号という。

$$I(f,Z)=\sum_{x\in f^{-1}(Z)}\operatorname{sign}_x(f,Z)\in\mathbb{Z}$$

を $f$ と $Z$ の交点数という。一般の $f$ に対しては、ホモトピックで横断的な $g$ を取って $I(f,Z)=I(g,Z)$ と定める。$X$ が $Y$ のコンパクトな向き付けられた部分多様体のときは、包含写像を $f$ として $I(X,Z)$ と書く。$X=Z$ のとき $I(X,X)$ を自己交点数という。

「$X$ の基底を先、$Z$ の基底を後」という順序は規約です。明らかに $I(f,Z)\equiv I_2(f,Z)\pmod2$ です。

ホモトピー不変性を示すには、ホモトピーの逆像である 1 次元多様体に向きを付け、境界の符号と交わりの符号を比べる必要があります。

次の定義のねらいは、1 次元の逆像 $A$（線分と円周の集まりです）に向きを入れることです。線分を一方向にたどると、一方の端では「出ていき」、他方の端では「入ってきます」。端点の符号がこの出入りに対応するので、2 つの端の符号は打ち消し合います。それを次の補題で確かめます。なお、商空間 $T_aV/T_aA$ は、$A$ に沿う方向を無視した「$A$ を横切る方向」の空間と思えば十分です。

定義 3.2（逆像の向き）↗

$V$ を向き付けられた境界付き多様体、$Y$ を向き付けられた境界のない多様体、$Z\subset Y$ を向き付けられた境界のない部分多様体、$F\colon V\to Y$ を $F\pitchfork Z$、$\partial F\pitchfork Z$ となる写像とし、$A=F^{-1}(Z)$ とする。

1. $z\in Z$ での法空間 $N_z=T_zY/T_zZ$ に、「$N_z$ の正の基底の持ち上げ、$T_zZ$ の正の基底」の順に並べたものが $T_zY$ の正の基底になるように向きを入れる。
2. $a\in A$、$z=F(a)$ とする。$T_aA=(dF_a)^{-1}(T_zZ)$ なので、$dF_a$ は同型 $T_aV/T_aA\to N_z$ を誘導する。これで $T_aV/T_aA$ に向きを移し、「$T_aV/T_aA$ の正の基底の持ち上げ、$T_aA$ の正の基底」の順に並べたものが $T_aV$ の正の基底になるように $T_aA$ に向きを入れる。これを $A$ の逆像の向きという。

持ち上げの取り方を変えても、後ろに並ぶ部分空間のベクトルの 1 次結合を足すだけなので、基底の向きは変わりません。局所的に枠を連続に取れるので、この向きは $A$ の向き（定義 3.1［ストークスの定理］）を定めます。$\dim A=0$ のとき、$T_aA=0$ で、$a$ に付く符号は「$dF_a\colon T_aV\to N_z$ が向きを保つか」で、これは $\operatorname{sign}_a(F,Z)$ にほかなりません。

次の補題は、この向きのもとで、1 次元の逆像 $A$ の両端の符号が互いに逆になることから、$\partial V$ 上の符号の和が $0$ になることを言います。証明は 2 段です。まず $A$ の端点 $a$ の「外向き・内向き」を、$\partial F$ の交わりの符号に $(-1)^n$ を掛けたものとして書き（基底を並べ替えたときの符号の計算です）、次に各線分成分の両端が逆符号であることを使います。

補題 3.3（1 次元の逆像の境界の符号）✓

定義 3.2 の状況で、$V$ はコンパクト、$Z$ は閉部分多様体、$\dim V=\operatorname{codim}Z+1$ とし、$n=\operatorname{codim}Z=\dim\partial V$ とおく。$\partial V$ に境界の向き（定義 4.5［ストークスの定理］）を入れると、逆像の向きを持つ 1 次元多様体 $A$ の境界点 $a\in\partial A=(\partial F)^{-1}(Z)$ の符号 $\varepsilon(a)$ は

$$\varepsilon(a)=(-1)^n\operatorname{sign}_a(\partial F,Z)$$

を満たす。したがって

$$\sum_{a\in(\partial F)^{-1}(Z)}\operatorname{sign}_a(\partial F,Z)=0 .$$

証明（補題 3.3）

$a\in\partial A$、$z=F(a)$ とします。$\partial F\pitchfork Z$ と次元の関係から、$d(\partial F)_a\colon T_a\partial V\to T_zY$ は単射で像は $T_zZ$ の補空間です。よって $T_a\partial V\cap T_aA=0$ で、$T_a\partial V$ は $T_aV/T_aA$ に同型に写ります。$s=\operatorname{sign}_a(\partial F,Z)$ とすると、定義から、$T_a\partial V$ の境界の向きに関する正の基底 $(h_1,\dots,h_n)$ は、$T_aV/T_aA\cong N_z$ の向きに関して符号 $s$ の基底です。

$w\in T_aA$ を逆像の向きに関する正のベクトル、$\nu$ を $V$ の外向きベクトルとし、$w=c\nu+h$（$h\in T_a\partial V$、$c\ne0$）と書きます。逆像の向きの定義から、$(h_1,\dots,h_n,w)$ の $T_aV$ での符号は $s$ です。一方、行列式の多重線形性と交代性から、この符号は $(h_1,\dots,h_n,c\nu)$ の符号に等しく、$\nu$ を先頭に移すと $(-1)^n$ が掛かり、境界の向きの定義から $(\nu,h_1,\dots,h_n)$ は正なので、$\operatorname{sign}(c)(-1)^n$ です。よって $\operatorname{sign}(c)=(-1)^ns$ です。

$A$ の境界チャートは $V$ の境界チャートの最後の座標の制限から作られるので（補題 3.7［横断性］）、$A$ の接ベクトルが $A$ にとって外向きであることと $V$ にとって外向きであることは同じで、$w$ が外向きなのは $c>0$ のときです。$\varepsilon(a)$ は「外向きベクトルが正の向きか」なので $\varepsilon(a)=\operatorname{sign}(c)=(-1)^ns$ です。

後半を示します。$A$ はコンパクトな向き付けられた 1 次元多様体で、各成分は $S^1$ か $[0,1]$ に微分同相です（定理 4.4［横断性］）。$[0,1]$ に微分同相な成分では、向きは径数 $t$ の増える向きか減る向きのどちらかで、外向きベクトルは $t=1$ で $\partial_t$、$t=0$ で $-\partial_t$ なので、両端の $\varepsilon$ は逆符号です。よって $\sum_{a\in\partial A}\varepsilon(a)=0$ で、$(-1)^n$ を掛けて主張を得ます。

∎

3.2. ホモトピー不変性と境界定理

定理 3.4（向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理）✓

$Y$ を向き付けられた境界のない多様体、$Z\subset Y$ を向き付けられた境界のない閉部分多様体とする。

1. $X$ をコンパクトな向き付けられた境界のない多様体、$\dim X+\dim Z=\dim Y$ とする。$f_0,f_1\colon X\to Y$ がともに $Z$ に横断的でホモトピックならば、符号つきの個数は等しい。したがって $I(f,Z)$ は矛盾なく定まり、ホモトピー不変である。
2. $W$ をコンパクトな向き付けられた境界付き多様体、$X=\partial W$（境界の向き）、$\dim X+\dim Z=\dim Y$ とする。$f\colon X\to Y$ が $F\colon W\to Y$ に拡張できるならば $I(f,Z)=0$ である。

証明（定理 3.4）

1。 定理 2.2 の証明と同じく、$G\colon X\times[0,1]\to Y$ で $G\pitchfork Z$、$\partial G=f_0\sqcup f_1$ となるものを取ります。$V=X\times[0,1]$ に積の向きを入れます。境界 $X\times\{1\}$ と $X\times\{0\}$ では外向きベクトルがそれぞれ $\partial_t$、$-\partial_t$ なので、境界の向きは、一方で $X$ の向きの $\eta$ 倍、他方で $-\eta$ 倍です（$\eta=\pm1$ は $\dim X$ だけで決まる符号）。補題 3.3 から

$$0=\sum_{a\in(\partial G)^{-1}(Z)}\operatorname{sign}_a(\partial G,Z)=\eta\Bigl(\sum_{x\in f_1^{-1}(Z)}\operatorname{sign}_x(f_1,Z)-\sum_{x\in f_0^{-1}(Z)}\operatorname{sign}_x(f_0,Z)\Bigr)$$

です。

2。 定理 2.3 の証明の $G\colon W\to Y$（$G\pitchfork Z$、$\partial G\pitchfork Z$、$\partial G$ は $f$ にホモトピック）を取ると、1 から $I(f,Z)=I(\partial G,Z)$ で、補題 3.3 からこれは $0$ です。

∎

次の命題は、$X$ と $Z$ の順序を入れ替えると交点数が $(-1)^{\dim X\cdot\dim Z}$ 倍になる、というものです。$X$ と $Z$ が横断的に交わっていれば、各交点で基底の並べ方を変えるだけで示せます。一般の場合は、$X$ を少し動かして横断的にしてから、その動かし方がイソトピー（つぶれずに連続的に動かすこと）なので交点数を変えない、という順で元に戻します。

命題 3.5（交点数の対称性）✓

$Y$ を向き付けられた境界のない多様体、$X,Z\subset Y$ をコンパクトな向き付けられた境界のない部分多様体で $\dim X+\dim Z=\dim Y$ となるものとする。このとき

$$I(X,Z)=(-1)^{\dim X\cdot\dim Z}\,I(Z,X).$$

証明（命題 3.5）

$k=\dim X$、$l=\dim Z$ とします。

横断的な場合。 $X\pitchfork Z$ なら、各交点 $p$ で $I(X,Z)$ への寄与は基底 $(v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_l)$ の符号、$I(Z,X)$ への寄与は $(w_1,\dots,w_l,v_1,\dots,v_k)$ の符号で、後者は前者に $kl$ 回の互換を施したものなので $(-1)^{kl}$ 倍です。

一般の場合。 包含 $\iota_X$ にホモトピックで $Z$ に横断的な写像を、定理 9.1［横断性］ の証明の族 $f_s=F(\cdot,s)$ の中から取ります。埋め込みであることは安定で、$0$ のある近傍の $s$ すべてについて $f_s$ は埋め込みです（系 5.4［横断性］）。その近傍を球に取り、横断的になる $s$ をその中から選べば、$t\in[0,1]$ について $f_{ts}$ は埋め込みで、$X'=f_s(X)$ は $Z$ に横断的な部分多様体です。$X'$ には $f_s$ で $X$ の向きを移します。定義から $I(X,Z)=I(f_s,Z)=I(X',Z)$ で、横断的な場合から $I(X',Z)=(-1)^{kl}I(Z,X')$ です。

残りは $I(Z,X')=I(Z,X)$ です。$t\mapsto f_{ts}$ はコンパクトな $X$ のイソトピーなので、イソトピー拡張定理（定理 5.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］）により、$Y$ のディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1\circ\iota_X=f_s$ となるものがあります。$\Phi_1$ は恒等写像にイソトピックなので向きを保ち、$X$ を $X'$ に向きを込めて写します。微分同相 $\Phi_1$ で全体を移すと交わりの符号は保たれるので $I(\iota_Z,X')=I(\Phi_1^{-1}\circ\iota_Z,X)$ で、$\Phi_1^{-1}\circ\iota_Z$ は $\iota_Z$ にホモトピックなので 定理 3.4 から $I(\Phi_1^{-1}\circ\iota_Z,X)=I(Z,X)$ です。

∎

系 3.6（奇数次元では対角集合の自己交点数は 0）✓

$X$ をコンパクトな向き付けられた境界のない $n$ 次元多様体、$\Delta=\{(x,x)\}\subset X\times X$ を対角集合（$x\mapsto(x,x)$ で $X$ の向きを移す）とする。$n$ が奇数ならば $I(\Delta,\Delta)=0$ である。

証明（系 3.6）

命題 3.5 を $X=Z=\Delta\subset X\times X$ に使うと $I(\Delta,\Delta)=(-1)^{n^2}I(\Delta,\Delta)=-I(\Delta,\Delta)$ です。

∎

$I(\Delta,\Delta)$ は $X$ の Euler 数と呼ばれます。命題 8.5 と Poincaré–Hopf の定理から、これは Euler 標数 $\chi(X)$ に等しいことが分かります（注意 8.6）。したがって上の系は「奇数次元の閉多様体の Euler 標数は $0$」という Poincaré 双対の帰結の、交点数による別証明になっています。

4. 写像度

定義 4.1（滑らかな写像の写像度）↗

$X,Y$ を同じ次元 $n$ のコンパクトな向き付けられた境界のない多様体、$Y$ は連結とする。滑らかな写像 $f\colon X\to Y$ と点 $y\in Y$（正の符号を付けた $0$ 次元部分多様体とみなす）に対し

$$\deg f=I(f,\{y\})$$

を $f$ の写像度という。

$y$ が正則値のとき、$\operatorname{sign}_x(f,\{y\})$ は $df_x\colon T_xX\to T_yY$ が向きを保つとき $+1$、逆にするとき $-1$ で、向きを保つチャートで書けば Jacobi 行列式の符号 $\operatorname{sign}\det df_x$ です。

命題 4.2（写像度は点によらない）✓

定義 4.1 の $\deg f$ は $y$ の取り方によらず、ホモトピー不変である。$X=\partial W$（$W$ はコンパクトな向き付けられた境界付き多様体）で $f$ が $W$ 上に拡張できるなら $\deg f=0$ である。向きを仮定しない 定義 2.5 の $\deg_2f$ についても同じことが成り立つ。

証明（命題 4.2）

ホモトピー不変性と境界定理は 定理 3.4（mod 2 では 定理 2.2、定理 2.3）です。$y,y'\in Y$ とします。$Y$ は連結なので、恒等写像にイソトピックな微分同相 $\Phi$ で $\Phi(y)=y'$ となるものがあります（定理 5.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］）。$\Phi$ は向きを保つので、$g\pitchfork\{y'\}$ となる $g$（$f$ にホモトピック）について $\Phi^{-1}\circ g\pitchfork\{y\}$ で、対応する点の符号は等しく、$I(g,\{y'\})=I(\Phi^{-1}\circ g,\{y\})$ です。$\Phi^{-1}\circ g$ は $g$ に、したがって $f$ にホモトピックなので、右辺は $I(f,\{y\})$ です。

∎

補題 4.3（正則値のまわりの逆像）✓

$X,Y$ を同じ次元の境界のない多様体、$X$ はコンパクト、$y$ を $f\colon X\to Y$ の正則値とする。$f^{-1}(y)=\{x_1,\dots,x_m\}$ は有限集合で、$y$ の開近傍 $V$ と $x_i$ の互いに交わらない開近傍 $U_i$ で、$f^{-1}(V)=U_1\sqcup\dots\sqcup U_m$ かつ各 $f|_{U_i}\colon U_i\to V$ が微分同相になるものがある。

証明（補題 4.3）

$f^{-1}(y)$ はコンパクトな $0$ 次元部分多様体なので有限です。各 $x_i$ で $df$ は同型なので、$x_i$ の開近傍 $U_i'$ で $f|_{U_i'}$ が開集合への微分同相になるものがあり（系 2.2［部分多様体と正則値定理］）、小さく取って互いに交わらないようにします。$f(X\setminus\bigcup_iU_i')$ はコンパクトで $y$ を含まないので、$V=\bigcap_if(U_i')\setminus f(X\setminus\bigcup_iU_i')$ は $y$ の開近傍です。$U_i=U_i'\cap f^{-1}(V)$ とすれば条件を満たします。

∎

系 4.4（写像度の積分による表示）✓

定義 4.1 の状況で、$Y$ 上の任意の $n$ 形式 $\omega$ に対し

$$\int_Xf^{*}\omega=\deg f\int_Y\omega$$

が成り立つ。

証明（系 4.4）

Sard の定理（定理 7.4［部分多様体と正則値定理］）により正則値 $y$ を取り、補題 4.3 の $V,U_i$ を取ります。$V$ を小さくして連結なチャートの定義域とし、$U_i$ も連結とします。

台が $V$ に入る $\omega_0$ の場合。 $f^{*}\omega_0$ の台は $\bigsqcup U_i$ に入り、$f|_{U_i}$ は微分同相で、連結な $U_i$ の上で向きを保つか逆にするかのどちらか、その符号は $\operatorname{sign}\det df_{x_i}$ です。積分の定義と変数変換（補題 5.2［ストークスの定理］。$V$ のチャートと $f|_{U_i}$ の合成が $U_i$ のチャートで、向きの符号 $\varepsilon$ が $\operatorname{sign}\det df_{x_i}$ だけ変わります）から $\int_{U_i}f^{*}\omega_0=\operatorname{sign}\det df_{x_i}\int_V\omega_0$ で、和を取って $\int_Xf^{*}\omega_0=\deg f\int_Y\omega_0$ です。

一般の場合。 台が $V$ に入り $\int_Y\omega_0=1$ となる $\omega_0$ を取ります。$Y$ は閉じた連結な向き付けられた多様体なので、積分は同型 $H^n_{\mathrm{dR}}(Y)\to\mathbb{R}$ を与えます（系 6.5［コホモロジーと双対性］ (1)）。よって $c=\int_Y\omega$ とすると $\omega-c\omega_0=d\eta$ となる $\eta$ があり、

$$\int_Xf^{*}\omega=c\int_Xf^{*}\omega_0+\int_Xd(f^{*}\eta)=c\deg f$$

です（最後に 系 6.2［ストークスの定理］ を使いました）。

∎

定理 4.5（正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致）✓

$X,Y$ を同じ次元 $n\ge1$ のコンパクトな向き付けられた境界のない多様体、$Y$ は連結、$f\colon X\to Y$ を滑らかな写像とする。

1. 任意の正則値 $y$ について $\deg f=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\operatorname{sign}\det df_x$ で、この値は正則値 $y$ によらず、$f$ のホモトピーで不変である。$f$ が全射でなければ $\deg f=0$ である。
2. $g\colon Y\to Y'$（$Y'$ も同じ条件を満たす）に対し $\deg(g\circ f)=\deg g\cdot\deg f$。向きを保つ微分同相の写像度は $1$、逆にする微分同相の写像度は $-1$ である。
3. $X=Y=S^n$ のとき、$\deg f$ は特異ホモロジーで定義した写像度（定義 5.1［胞体ホモロジーと写像度］）に一致する。

証明（定理 4.5）

1 は 定義 4.1 と 命題 4.2 です。全射でなければ、像に入らない点 $y$ は正則値で、$f^{-1}(y)=\varnothing$ です。

2. $Y'$ 上の $n$ 形式 $\omega$ で $\int_{Y'}\omega=1$ となるものを取ると、系 4.4 を 2 回使って $\deg(g\circ f)=\int_Xf^{*}g^{*}\omega=\deg f\int_Yg^{*}\omega=\deg f\deg g$ です。微分同相では各点の逆像が 1 点で、符号は向きを保つかどうかです。

3. 特異ホモロジーによる写像度を $\deg^{H}f$ と書くと、命題 5.4［ホモトピー群とファイブレーション］ により $\int_{S^n}f^{*}\omega=\deg^{H}f\int_{S^n}\omega$ です。$\int\omega\ne0$ となる $\omega$ について 系 4.4 と比べれば $\deg^{H}f=\deg f$ です。

∎

注意 4.6（局所写像度の和公式との関係）

正則値 $y$ の逆像の点 $x_i$ での $\operatorname{sign}\det df_{x_i}$ は、ホモロジーで定義した局所写像度（定義 5.3［胞体ホモロジーと写像度］）に一致し（補題 4.8）、定理の 1 は局所写像度の和公式（定理 5.4［胞体ホモロジーと写像度］）の滑らかな場合に当たります。上の証明は、局所写像度を経由せず、積分による表示を仲立ちにして 2 つの定義を結びました。ホモロジーの側の利点は連続写像と孤立した（正則とは限らない）逆像を扱えること、微分位相の側の利点は Jacobi 行列式の符号を見るだけで計算できることです。

例 4.7（代数学の基本定理）

$p(z)=z^m+a_1z^{m-1}+\dots+a_m$（$m\ge1$）を複素多項式とします。$p_t(z)=z^m+t(a_1z^{m-1}+\dots+a_m)$ とおき、$S^2=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 上の写像 $\hat p_t$（$\hat p_t(\infty)=\infty$）を考えます。$\infty$ のまわりの座標 $w=1/z$ で $\hat p_t$ は $w\mapsto w^m/(1+t(a_1w+\dots+a_mw^m))$ で、$(w,t)$ について $w=0$ の近傍で滑らかなので、$\hat p_t$ は $\hat p_0(z)=z^m$ と $\hat p_1=\hat p$ を結ぶ滑らかなホモトピーです。

$z^m$ の写像度を正則値 $1$ で数えます。逆像は $1$ の $m$ 乗根 $m$ 個で、各点で微分は複素数 $mz^{m-1}\ne0$ を掛ける写像、その実 Jacobi 行列式は $|mz^{m-1}|^2>0$ です。よって $\deg\hat p=\deg\hat p_0=m\ne0$ です。写像度が $0$ でない写像は全射なので（定理 4.5 (1)）、$p(z)=0$ となる $z$ があります。さらに、正則な写像の Jacobi 行列式は常に非負なので、$0$ が正則値なら根はちょうど $m$ 個です。$0$ が正則値でないとき（重根があるとき）は根の個数は $m$ より少なくなりますが、総数 $m$ を重複度に配分したものが根の重複度です。

注意 4.6 で触れた、Jacobi 行列式の符号とホモロジーの局所写像度の一致を証明しておきます。連続写像が逆像の近くでだけ滑らかな場合（胞体の接着写像の写像度を数えるときなど）に、和公式と合わせて使います。

補題 4.8（局所微分同相の局所写像度）✓

$n\ge1$ とし、$S^n$ に向きを 1 つ決める。$f\colon S^n\to S^n$ を連続写像、$x\in S^n$ とし、$f$ は $x$ のある開近傍の上で滑らかで、$df_x$ は同型であるとする。このとき $x$ は $f^{-1}(f(x))$ の孤立点で、ホモロジーで定義した局所写像度（定義 5.3［胞体ホモロジーと写像度］）は

$$d_x(f)=\operatorname{sign}\det df_x$$

である（右辺は $df_x\colon T_xS^n\to T_{f(x)}S^n$ が向きを保つとき $+1$、逆にするとき $-1$）。

証明（補題 4.8）

逆関数定理（系 2.2［部分多様体と正則値定理］）により、$x$ の連結な開近傍 $U$ で、$f|_U$ が開集合への微分同相になるものがあります。$f$ は $U$ の上で単射なので $U\cap f^{-1}(f(x))=\{x\}$ です。$x$ のまわりの向きを保つチャートの逆写像を拡大して、向きを保つ埋め込み $e\colon B_R\to U$（$R>1$、$e(0)=x$）を取ります。

$df_x$ が向きを保つ場合。 $f\circ e\colon B_R\to S^n$ は向きを保つ埋め込みです（$U$ は連結なので、$f|_U$ は $U$ 全体で向きを保ちます）。$S^n$ は連結なので、円板定理（定理 6.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］）により、$S^n$ のディフェオトピー $\Phi$ で $\Phi_1\circ e|_{D^n}=f\circ e|_{D^n}$ となるものがあります。$x$ の開近傍 $e(B_1)$ の上で $f=\Phi_1$ です。局所写像度は $x$ の近傍への制限だけで決まるので $d_x(f)=d_x(\Phi_1)$ です。$\Phi_1$ は同相写像で $\Phi_1^{-1}(\Phi_1(x))=\{x\}$ なので、和公式（定理 5.4［胞体ホモロジーと写像度］）から $d_x(\Phi_1)=\deg\Phi_1$ で、$\Phi_1$ は恒等写像にホモトピックなので $\deg\Phi_1=1$ です（命題 5.2［胞体ホモロジーと写像度］ の 1・2）。

$df_x$ が向きを逆にする場合。 $r$ を $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ の座標 1 つの符号を変える鏡映とします。$r$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の向きを逆にし、$S^n$ の外向き法ベクトルを外向き法ベクトルに写すので、$S^n$ の向きを逆にする微分同相です。したがって$r\circ f\circ e$ は向きを保つ埋め込みで、上と同じく $\Phi_1\circ e|_{D^n}=r\circ f\circ e|_{D^n}$ となるディフェオトピー $\Phi$ があります。$r\circ r=\mathrm{id}$ なので、$e(B_1)$ の上で $f=r\circ\Phi_1$ です。$r\circ\Phi_1$ は同相写像なので、同じ和公式から $d_x(f)=\deg(r\circ\Phi_1)=\deg r\cdot\deg\Phi_1=-1$ です（命題 5.2［胞体ホモロジーと写像度］ の 1・3）。

∎

5. 回転数と Jordan–Brouwer の分離定理

以下 $n\ge2$ とします。$S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ には単位球体の境界としての向きを入れます。

定義 5.1（回転数と孤立零点の局所指数）↗

1. $X$ をコンパクトな境界のない $(n-1)$ 次元多様体、$f\colon X\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像、$z\notin f(X)$ とする。$u_z=(f-z)/|f-z|\colon X\to S^{n-1}$ の mod 2 写像度を $W_2(f,z)$ と書き、$f$ の $z$ のまわりの mod 2 回転数という。$X$ が向き付けられているとき、$W(f,z)=\deg u_z$ を回転数という。$X\subset\mathbb{R}^n$ のときは包含写像について $W_2(X,z)$ と書く。
2. $D$ を向き付けられた $n$ 次元多様体、$G\colon D\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像、$x\in\operatorname{Int}D$ を $G$ の孤立した零点とする。コンパクトな $n$ 次元の境界付き部分多様体 $B\subset\operatorname{Int}D$ で、$x\in\operatorname{Int}B$ かつ $B$ が $x$ 以外の零点を含まないもの（チャートの小さな閉球など）を取り、 $$\operatorname{ind}_x(G)=W(G|_{\partial B},0)=\deg\bigl(G/|G|\colon\partial B\to S^{n-1}\bigr)$$ を $G$ の $x$ における局所指数という（$\partial B$ には $B$ の境界としての向きを入れる）。

補題 5.2（境界の回転数は内部の零点の指数の和）✓

$D$ をコンパクトな $n$ 次元の境界付き多様体、$G\colon D\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像とし、$G$ の零点は有限個ですべて $\operatorname{Int}D$ にあるとする。

1. $D$ が向き付けられているとき、定義 5.1 (2) の局所指数は $B$ の取り方によらず、 $$W(\partial G,0)=\sum_{G(x)=0}\operatorname{ind}_x(G)$$ である。
2. 零点 $x$ で $dG_x$ が同型ならば、$\operatorname{ind}_x(G)=\operatorname{sign}\det dG_x$（向きを保つチャートでの Jacobi 行列式の符号）である。
3. $D$ の向きを仮定しないとき、$0$ が $G$ の正則値ならば $W_2(\partial G,0)=\#G^{-1}(0)\bmod2$ である。

証明（補題 5.2）

$B$ によらないこと。 $B,B'$ を零点 $x$ に対する 2 つの選択とし、$\operatorname{Int}B\cap\operatorname{Int}B'$ に入るチャートの閉球 $B''$ を取ります。$B\setminus\operatorname{Int}B''$ はコンパクトな境界付き多様体で、境界は $\partial B$ と、向きを逆にした $\partial B''$ です（外向きベクトルが $B''$ の内側を向くからです）。$G/|G|$ はこの上に延びているので、命題 4.2 の境界定理から $\deg(G/|G|;\partial B)-\deg(G/|G|;\partial B'')=0$ です。$B'$ についても同じなので、$B$ と $B'$ による値は一致します。

1。 零点 $x_1,\dots,x_r$ に互いに交わらない $B_i$ を取り、$D'=D\setminus\bigcup_i\operatorname{Int}B_i$ とします。$G/|G|$ は $D'$ 上に延びているので、同じ境界定理から $\deg(G/|G|;\partial D)-\sum_i\deg(G/|G|;\partial B_i)=0$ です。

2。 $G$ は $x$ の近傍 $U$ から $0$ の近傍への微分同相です。$\delta>0$ を小さく取り、$B=U\cap G^{-1}(\overline{B_\delta})$ とすると、$G\colon B\to\overline{B_\delta}$ は境界付き多様体の微分同相で、$\det dG_x>0$ なら向きを保ち、外向きベクトルを外向きベクトルに写すので境界の向きも保ちます。$\det dG_x<0$ ならどちらも逆にします。$G/|G|\colon\partial B\to S^{n-1}$ は微分同相 $G\colon\partial B\to\partial B_\delta$ と相似縮小の合成なので、写像度は $\operatorname{sign}\det dG_x$ です（定理 4.5 (2)）。

3。 1・2 の議論を mod 2 で行います。$G^{-1}(0)$ は正則値の逆像でコンパクトな $0$ 次元多様体なので有限です。各零点のまわりの 2 の $B_i$ について $G/|G|\colon\partial B_i\to S^{n-1}$ は微分同相で mod 2 写像度は $1$、$D'$ の上の境界定理（定理 2.3）から $W_2(\partial G,0)=\sum_i1$ です。

∎

次の定理は、平面の閉曲線が平面を内側と外側に分けることの一般化です。点 $z$ が内側か外側かは、$z$ から出る半直線が曲線を横切る回数の偶奇で決まります。下の図では、内側の点からの半直線は 1 回、外側の点からの半直線は 2 回曲線と交わります。証明では、この「回数の偶奇」を $z$ のまわりの回転数 $W_2(X,z)$ として定式化し、$z$ を動かしても回転数が変わらないことと、$X$ をまたぐと値が変わることの 2 点を使います。

閉曲線 $X$ と 2 点。内側の点 $P$ から右へ出る半直線は $X$ と 1 回、外側の点 $Q$ から右へ出る半直線は 2 回交わる。

定理 5.3（Jordan–Brouwer の分離定理（滑らかな場合））✓

$n\ge2$ とし、$X\subset\mathbb{R}^n$ をコンパクトで連結な境界のない $(n-1)$ 次元部分多様体とする。

1. $\mathbb{R}^n\setminus X$ の連結成分はちょうど 2 つで、有界な成分 $D_1$（内側）と非有界な成分 $D_0$（外側）である。
2. $z\in\mathbb{R}^n\setminus X$ について、$z\in D_1$ と $W_2(X,z)=1$ は同値である。
3. $\overline{D_1}=D_1\cup X$ はコンパクトな $n$ 次元の境界付き多様体で、境界は $X$ である。とくに $X$ は向き付け可能である。

証明（定理 5.3）

$x\in X$ のまわりのスライスチャート $(U,\psi)$ で、$\psi(U)$ が開球、$\psi(U\cap X)=\psi(U)\cap\{x^n=0\}$ となるものを取ると、$U\setminus X$ は連結な開集合 $U^{+}=\{x^n>0\}$ と $U^{-}=\{x^n<0\}$ の非交和で、$U\cap X$ の各点は $U^{+}$ と $U^{-}$ の両方の閉包に入ります。

第 1 段：成分は高々 2 つ。 $z\in\mathbb{R}^n\setminus X$ を含む連結成分を $C$ とし（開集合です。命題 9.7［連結性］）、$X_C=X\cap\overline C$ とおきます。$X_C$ は $X$ の閉集合です。空ではありません。$x_1\in X$ を取り、$t^{*}=\min\{t\in[0,1]:z+t(x_1-z)\in X\}$ とすると（$X$ は閉集合で $z\notin X$ なので $t^{*}>0$）、$t<t^{*}$ の点は線分で $z$ と結ばれて $C$ に入り、$z+t^{*}(x_1-z)\in X_C$ です。$X_C$ は $X$ の開集合でもあります。$x\in X_C$ のまわりの上の $U$ を取ると、$C\cap U\ne\varnothing$ で $C\cap U\subset U^{+}\sqcup U^{-}$ なので、$C$ は $U^{+}$ か $U^{-}$ と交わり、それは $\mathbb{R}^n\setminus X$ の連結部分集合なので $C$ に含まれます。すると $U\cap X$ の点はすべて $\overline C$ に入ります。$X$ は連結なので $X_C=X$ です。

1 点 $x_0\in X$ と $U$ を固定します。上の議論から、どの成分も $U^{+}$ か $U^{-}$ を含みます。異なる成分は交わらないので、成分は高々 2 つです。

第 2 段：回転数は成分の上で一定。 $z\in\mathbb{R}^n\setminus X$ を中心とする、$X$ と交わらない開球の中の $z'$ について、$u_{z+t(z'-z)}$ は $u_z$ から $u_{z'}$ へのホモトピーなので $W_2(X,z')=W_2(X,z)$ です（定理 2.2）。局所定数な関数は連結集合の上で一定です。

第 3 段：回転数は両方の値を取る。 単位ベクトル $v$ を 1 つ取り、$P\colon\mathbb{R}^n\to v^{\perp}$ を直交射影、$q=P|_X\colon X\to v^\perp$ とします。$X$ の上で $\langle x,v\rangle$ が最大になる点 $p$ では $T_pX=v^\perp$ なので $dq_p$ は同型で、$q(X)$ は $q(p)$ の近傍を含みます。Sard の定理から、その近傍に $q$ の正則値 $w$ があります。直線 $\ell=\{w+tv\}$ は $X$ と空でない有限集合 $\{x_1,\dots,x_m\}$（径数 $t_1<\dots<t_m$）で交わり、各 $x_i$ で $P|_{T_{x_i}X}$ は同型です。

$z=w+tv\in\ell\setminus X$ とします。$u_z(x)=v$ となるのは $x\in\ell\cap X$ かつ径数が $t$ より大きいとき、すなわち $x=x_i$、$t_i>t$ のときです。そこでの微分は、$a\in T_{x_i}X$ に対し $d(u_z)_{x_i}(a)=P(a)/|x_i-z|$（正規化の微分は $v^\perp$ への射影を長さで割ったもの）で、$T_vS^{n-1}=v^\perp$ への同型です。よって $v$ は $u_z$ の正則値で、

$$W_2(X,z)=\#\{i:t_i>t\}\bmod2$$

です。$t$ を $t_m$ の前後に取ると値は $1$ と $0$ になります。第 2 段と合わせて、成分は少なくとも 2 つ、第 1 段からちょうど 2 つで、$W_2$ の値で区別されます。$D_i=\{z:W_2(X,z)=i\}$ とおきます。

第 4 段：有界性。 $X\subset B_R$ とします。$|z|>R$ のとき、$x\in X$ に対し $\langle x-z,-z\rangle=|z|^2-\langle x,z\rangle>0$ なので $u_z$ は $z/|z|$ を値に取らず、全射でないので $W_2(X,z)=0$ です。よって $\{|z|>R\}\subset D_0$、$D_1\subset\overline{B_R}$ です。

第 5 段：$\overline{D_1}$ は境界付き多様体。 第 1 段から $X\subset\overline{D_0}\cap\overline{D_1}$ です。$x\in X$ のまわりの $U$ について、$U^{+}$ と $U^{-}$ が同じ成分に入るとすると、他方の成分は $U$ と交わらず、$x$ がその閉包に入ることに反します。よって一方（$U^{+}$ とします）が $D_1$ に、他方が $D_0$ に入り、$\overline{D_1}\cap U=U^{+}\cup(U\cap X)$ はスライスチャートで閉じた半球に写ります。これが境界チャートを与えます。$\overline{D_1}$ は $\mathbb{R}^n$ の向きを持つので、その境界 $X$ は向き付け可能です（定義 4.5［ストークスの定理］）。

∎

注意 5.4（位相的な定理との比較）

定理 4.1［Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理］ は、$S^{n-1}$ の連続な埋め込みの像について同じ分離を、特異ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列で示しました。そこでは埋め込まれるものが球面であることが必要でしたが、上の定理は任意の連結な閉超曲面（トーラスなど）で成り立ち、内側か外側かを「半直線が超曲面を横切る回数の偶奇」で判定する具体的な方法を与えます。その代わり滑らかさを使っています。系として、$\mathbb{R}P^2$ や Klein の壺のような向き付け不可能な閉曲面は $\mathbb{R}^3$ に埋め込めません。

6. Borsuk–Ulam の定理

この節の主張は、球面上の奇写像（$f(-x)=-f(x)$ を満たす写像）の $0$ のまわりの mod 2 回転数は $1$ である、というものです。証明は次元 $k$ についての帰納法です。$k\ge2$ の段では、直線 $\ell$ の逆像 $f^{-1}(\ell)$ の点を数えますが、球面を上半球と下半球に分けると、$-x$ への対応でその半分ずつに分かれるので上半球だけ数えればよく、上半球 $D$ の境界は赤道 $S^{k-1}$ です。赤道への制限に帰納法の仮定を使うのは、境界の回転数が内部の零点の数の偶奇に等しい（補題 5.2 (3)）からです。最後の 3 は、1 から導く応用です。

定理 6.1（Borsuk–Ulam の定理）✓

$k\ge1$ とする。

1. 滑らかな写像 $f\colon S^k\to\mathbb{R}^{k+1}\setminus\{0\}$ が奇写像（$f(-x)=-f(x)$）ならば $W_2(f,0)=1$ である。
2. 滑らかな奇写像 $f\colon S^k\to S^k$ の写像度は奇数である。
3. 連続写像 $g\colon S^k\to\mathbb{R}^k$ に対し、$g(x)=g(-x)$ となる点 $x\in S^k$ が存在する。

証明（定理 6.1）

1。 $k$ についての帰納法で示します。

$k=1$：$h=f/|f|\colon S^1\to S^1$、$c(\theta)=h(\cos\theta,\sin\theta)=(a(\theta),b(\theta))$ とします。$\omega=x\,dy-y\,dx$ は $\int_{S^1}\omega=2\pi$ を満たすので、系 4.4 から $2\pi\deg h=\int_0^{2\pi}(ab'-ba')\,d\theta$ です。$c(\theta+\pi)=-c(\theta)$ なので被積分関数は周期 $\pi$ を持ち、$\deg h=\frac1\pi\int_0^\pi(ab'-ba')\,d\theta$ です。$\varphi(\theta)=\varphi_0+\int_0^\theta(ab'-ba')$（$c(0)=(\cos\varphi_0,\sin\varphi_0)$）とおきます。$|c|=1$ から $c'\perp c$ で、$J$ を $90^\circ$ の回転とすると $c'=\langle c',Jc\rangle Jc=(ab'-ba')Jc$ です。$(\cos\varphi,\sin\varphi)$ も同じ線形常微分方程式と初期値を満たすので、一意性（定理 2.1［線形微分方程式系］）から $c=(\cos\varphi,\sin\varphi)$ です。$c(\pi)=-c(0)$ から $\varphi(\pi)-\varphi(0)=\pi(2q+1)$（$q\in\mathbb{Z}$）で、$\deg h=2q+1$、$W_2(f,0)=\deg_2h=1$ です。

$k\ge2$：$k-1$ で成り立つとします。$u=f/|f|\colon S^k\to S^k$ とし、赤道 $S^{k-1}=\{x_{k+1}=0\}$ への制限を $g=f|_{S^{k-1}}$、$u_g=g/|g|$ とします。Sard の定理により、$u$ と $u_g\colon S^{k-1}\to S^k$ の両方の正則値 $a\in S^k$ を取ります。奇写像なので $-a$ も両方の正則値です（$x\mapsto-x$ は微分同相で $u(-x)=-u(x)$）。$\dim S^{k-1}<\dim S^k$ なので、$u_g$ の正則値であることは像に入らないことで、直線 $\ell=\mathbb{R}a$ について $g(S^{k-1})\cap\ell=\varnothing$ です。

$f^{-1}(\ell)=u^{-1}(a)\sqcup u^{-1}(-a)$ で、$x\mapsto-x$ は $u^{-1}(a)$ と $u^{-1}(-a)$ を入れ替え、開いた上半球 $S^k_{+}$ と下半球も入れ替え、$f^{-1}(\ell)$ は赤道と交わりません。よって

$$\#u^{-1}(a)=\tfrac12\#f^{-1}(\ell)=\#\bigl(f^{-1}(\ell)\cap S^k_{+}\bigr),\qquad W_2(f,0)=\#\bigl(f^{-1}(\ell)\cap S^k_{+}\bigr)\bmod2$$

です。$P\colon\mathbb{R}^{k+1}\to a^\perp\cong\mathbb{R}^k$ を直交射影とします。$P\circ g\colon S^{k-1}\to a^\perp\setminus\{0\}$ は奇写像なので、帰納法の仮定から $W_2(P\circ g,0)=1$ です。$D$ を閉じた上半球（境界 $S^{k-1}$ を持つコンパクトな $k$ 次元多様体）、$G=P\circ f|_D\colon D\to a^\perp$ とすると、$G^{-1}(0)=f^{-1}(\ell)\cap S^k_{+}$ です。$0$ は $G$ の正則値です。実際 $f(x)\in\ell$ のとき $u(x)=\pm a$ で、$du_x=P\circ df_x/|f(x)|$（正規化の微分は $u(x)^\perp=a^\perp$ への射影を長さで割ったもの）が $T_{\pm a}S^k=a^\perp$ への全射なので、$dG_x=P\circ df_x$ も全射です。補題 5.2 (3) から

$$1=W_2(P\circ g,0)=W_2(\partial G,0)=\#G^{-1}(0)\bmod2=W_2(f,0)$$

です。

2。 $f\colon S^k\to S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}\setminus\{0\}$ とみると $W_2(f,0)=\deg_2f$ で、1 から $\deg f\equiv\deg_2f=1\pmod2$ です。

3。 すべての $x$ で $g(x)\ne g(-x)$ と仮定します。$S^k$ はコンパクトなので $c=\min_x|g(x)-g(-x)|>0$ です。$S^k$ の有限個の開集合 $U_j$ と点 $x_j\in U_j$ を、$U_j$ の上で $|g-g(x_j)|<c/4$ となるように取り、従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$ で $\tilde g=\sum_j\rho_jg(x_j)$ とおくと、$\tilde g$ は滑らかで $|\tilde g-g|<c/4$ です。$f(x)=\tilde g(x)-\tilde g(-x)$ は滑らかな奇写像で、$|f(x)|\ge c-c/2>0$ です。$f$ を $S^k\to\mathbb{R}^k\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^{k+1}\setminus\{0\}$ とみると、$f/|f|$ の像は赤道 $S^{k-1}$ に入り全射でないので $W_2(f,0)=0$ で、1 に反します。

∎

3 は、「地球上には、気温と気圧がともに対蹠点と等しい点がある」という形でよく述べられます（気温と気圧が連続関数であるとして）。$S^k$ から $\mathbb{R}^k$ への連続写像は単射になれないので、$S^k$ は $\mathbb{R}^k$ の部分集合と同相になりません。

系 6.2（ハムサンドイッチの定理）✓

$A_1,\dots,A_k\subset\mathbb{R}^k$ を有界な Lebesgue 可測集合とする。$\mathbb{R}^k$ の超平面で、各 $A_i$ の体積を同時に 2 等分するものが存在する。

証明（系 6.2）

$x=(x',x_{k+1})\in S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$ に対し、$\mathbb{R}^k$ の開集合 $H_x=\{y:\langle y,x'\rangle+x_{k+1}>0\}$ を考え、$g_i(x)=\operatorname{vol}(A_i\cap H_x)$、$g=(g_1,\dots,g_k)\colon S^k\to\mathbb{R}^k$ とおきます。$g$ は連続です。$x_j\to x$ のとき、$\langle y,x'\rangle+x_{k+1}\ne0$ となる $y$ では $1_{H_{x_j}}(y)\to1_{H_x}(y)$ で、例外の $y$ の全体は超平面（$x'\ne0$ のとき）か空集合（$x=\pm e_{k+1}$ のとき）で測度 $0$ なので、優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］。$1_{A_i}$ が可積分な優関数）から $g_i(x_j)\to g_i(x)$ です。

定理 6.1 (3) により $g(x)=g(-x)$ となる $x$ があります。$H_{-x}=\{\langle y,x'\rangle+x_{k+1}<0\}$ で、$H_x$、$H_{-x}$ と境界 $\{\langle y,x'\rangle+x_{k+1}=0\}$ は $\mathbb{R}^k$ を分割します。$x'\ne0$ なら境界は超平面で測度 $0$ なので、$\operatorname{vol}(A_i\cap H_x)=\operatorname{vol}(A_i\cap H_{-x})=\tfrac12\operatorname{vol}(A_i)$ で、この超平面が求めるものです。$x'=0$（$x=\pm e_{k+1}$）のときは $H_x,H_{-x}$ の一方が全体、他方が空なので、$g(x)=g(-x)$ はすべての $A_i$ の体積が $0$ であることを意味し、どの超平面でもよいです。

∎

$k=3$ で $A_1,A_2,A_3$ をパン・ハム・パンとすると、1 回の平らな切り口で 3 つを同時に半分にできます。これが名前の由来です。

7. ベクトル場の零点の指数と Poincaré–Hopf の定理

7.1. 指数

定義 7.1（ベクトル場の孤立零点の指数）↗

$M$ を $n$ 次元多様体（$n\ge2$）、$V$ を $M$ 上の滑らかなベクトル場、$p$ を $V$ の孤立した零点とする。$p$ のまわりのチャート $\varphi$ に対し、$V$ のチャート表示 $v=d\varphi\circ V\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U)\to\mathbb{R}^n$ の $\varphi(p)$ における局所指数（定義 5.1 (2)。$\mathbb{R}^n$ の標準の向きによる）を

$$\operatorname{ind}_p(V)=\operatorname{ind}_{\varphi(p)}(v)$$

と書き、$V$ の $p$ における指数という。$dv_{\varphi(p)}$ が正則のとき $p$ を非退化な零点という。

指数は、零点のまわりの小さな球面を一周するとき、ベクトルの向きが球面を何回覆うかを数えます。

命題 7.2（指数は座標によらない）✓

定義 7.1 の指数と非退化性は、チャートの取り方（向きを逆にするものを含む）によらない。非退化な零点は孤立しており、その指数は $\operatorname{sign}\det dv_{\varphi(p)}$ である。

証明（命題 7.2）

2 つのチャートの座標変換を $g$（$\mathbb{R}^n$ の開集合の間の微分同相、平行移動して $g(0)=0$）とすると、チャート表示は $v'=dg\circ v\circ g^{-1}$ で変わります。$v(0)=0$ なので $dv'_0=dg_0\,dv_0\,dg_0^{-1}$ で、非退化性と $\det dv_0$ は変わりません。非退化なら $v$ は $0$ の近傍で微分同相なので零点は孤立し、指数は 補題 5.2 (2) から $\operatorname{sign}\det dv_0$ です。以下、孤立零点の指数が $g$ で変わらないことを示します。

$\det dg>0$ の場合。 補題 6.1［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］（を相似拡大して使う）により、$0$ を中心とする閉球 $B$ と、$\mathbb{R}^n$ の微分同相の滑らかな族 $\Theta_t$（$t\in[0,1]$）で、$\Theta_0=\mathrm{id}$、$B$ の上で $\Theta_1=g$ となるものがあります。$B$ は小さく取って $0$ 以外に $v$ の零点を含まないとします。$v'$ の指数を $B'=g(B)$ で計算します。$g\colon\partial B\to\partial B'$ は向きを保つ微分同相（写像度 $1$）なので、写像度の乗法性（定理 4.5 (2)）から

$$\operatorname{ind}_0(v')=\deg\Bigl(\partial B\ni x\mapsto\frac{dg_x(v(x))}{|dg_x(v(x))|}\Bigr)$$

です。$H_t(x)=d(\Theta_t)_x(v(x))/|d(\Theta_t)_x(v(x))|$ は、$d(\Theta_t)_x$ が正則で $v(x)\ne0$ なので $\partial B$ 上で定義されたホモトピーで、$t=0$ で $v/|v|$、$t=1$ で上の写像です。よって $\operatorname{ind}_0(v')=\operatorname{ind}_0(v)$ です。

$\det dg<0$ の場合。 座標 1 つの符号を変える鏡映 $r$ について $g=(g\circ r)\circ r$ で、$g\circ r$ は前の場合なので、$g=r$ の場合を示せば十分です。$v'=r\circ v\circ r$ で、$B$ を $0$ 中心の閉球とすると $r(B)=B$、$v'/|v'|=r\circ(v/|v|)\circ r$ です。$r|_{\partial B}$ と $r|_{S^{n-1}}$ はどちらも向きを逆にする微分同相で写像度 $-1$ なので、$\operatorname{ind}_0(v')=(-1)^2\operatorname{ind}_0(v)$ です。

∎

例 7.3（平面のベクトル場の指数）

$\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$ の上で、$v(z)=z^k$（$k\ge1$）は原点だけを零点に持ち、単位円の上で $v/|v|$ は $z\mapsto z^k$、写像度は $k$ なので（例 4.7 と同じ計算）$\operatorname{ind}_0(v)=k$ です。$v(z)=\bar z^k$ では、複素共役（向きを逆にする微分同相、写像度 $-1$）との合成なので $\operatorname{ind}_0(v)=-k$ です。$k=1$ のとき、$v(z)=z$ は湧き出し、$v(z)=-z$ は吸い込み、$v(z)=iz$ は渦で、いずれも Jacobi 行列式が正なので指数 $+1$、$v(z)=\bar z$（$(x,-y)$）は鞍点で指数 $-1$ です。吸い込みと湧き出しが同じ指数を持つことに注意してください。$n$ 次元では $v(x)=-x$ の指数は $(-1)^n$ です。

7.2. Poincaré–Hopf の定理

Poincaré–Hopf の定理の証明の方針は次のとおりです。ベクトル場の零点の指数の和が、ベクトル場の選び方によらないことを示せば、勾配ベクトル場のように計算しやすいものを選んで Euler 標数を読み取れます。選び方によらないことを示すために、$M$ を外の空間 $\mathbb{R}^N$ に埋め込み、$M$ のまわりを厚くした領域の境界で「外向きの単位法ベクトル」を考えます。この写像の写像度は $V$ と無関係に決まり、一方でベクトル場を厚くした領域全体に延ばすと、その写像度は零点の指数の和に等しくなります。次の補題がこの主張です。

補題 7.4（指数の和は管状近傍の Gauss 写像の写像度）✓

$M\subset\mathbb{R}^N$ をコンパクトな境界のない $n$ 次元部分多様体（$n\ge1$、$N\ge2$）とする。ε 近傍定理（定理 7.3［横断性］ (3)）の定数 $\varepsilon$ と最近点への射影 $\pi$ を取り、$0<\varepsilon'<\varepsilon$ に対し

$$N'=\{w\in\mathbb{R}^N:\operatorname{dist}(w,M)\le\varepsilon'\},\qquad g\colon\partial N'\to S^{N-1},\quad g(w)=\frac{w-\pi(w)}{\varepsilon'}$$

とおく。$N'$ はコンパクトな $N$ 次元の境界付き多様体で、$g$ は $\partial N'$ の外向き単位法ベクトルである。$V$ を $M$ 上の滑らかなベクトル場で零点がすべて非退化なものとすると、チャート表示 $v$ について

$$\sum_{V(z)=0}\operatorname{sign}\det dv_z=\deg g$$

が成り立つ。とくに左辺は $V$ によらない。

証明（補題 7.4）

$N'$ について。 $h(y,a)=y+a$ による $M^\varepsilon$ と $N_\varepsilon(M)$ の同一視のもとで、$r(w)=|w-\pi(w)|^2$ は $|a|^2$ に対応し、$a\ne0$ で微分が $0$ にならないので、$N'=\{\varepsilon'^2-r\ge0\}$ は境界付き多様体です（補題 3.7［横断性］）。$w-\pi(w)$ は $T_{\pi(w)}M$ に直交し、$d\pi_w(b)\in T_{\pi(w)}M$ なので、$dr_w(b)=2\langle w-\pi(w),b-d\pi_w(b)\rangle=2\langle w-\pi(w),b\rangle$ です。よって $r$ の勾配は $2(w-\pi(w))$ で、$g$ は $\partial N'=\{r=\varepsilon'^2\}$ の外向き単位法ベクトルです。

ベクトル場を延ばす。 $V$ を $\mathbb{R}^N$ 値の写像 $M\to\mathbb{R}^N$ とみて、$N'$ の上のベクトル場

$$\mathsf{w}(x)=(x-\pi(x))+V(\pi(x))$$

を考えます。$V(\pi(x))\in T_{\pi(x)}M$ は $x-\pi(x)$ に直交するので $\langle\mathsf{w}(x),x-\pi(x)\rangle=|x-\pi(x)|^2$ で、$\mathsf{w}(x)=0$ となるのは $x=\pi(x)\in M$ かつ $V(x)=0$ のときだけです。$\partial N'$ の上では $\langle\mathsf{w},g\rangle=\varepsilon'>0$ なので、$((1-t)\mathsf{w}+tg)/|(1-t)\mathsf{w}+tg|$ は $\mathsf{w}/|\mathsf{w}|$ から $g$ へのホモトピーで、$\deg(\mathsf{w}/|\mathsf{w}|;\partial N')=\deg g$ です。補題 5.2 (1) から $\deg g=\sum_z\operatorname{ind}_z(\mathsf{w})$ です。

零点での微分。 $z$ を $V$ の零点とします。$\pi|_M=\mathrm{id}$ から $d\pi_z$ は $T_zM$ の上で恒等写像です。$b\in(T_zM)^\perp$ に対しては、小さい $t$ で $\pi(z+tb)=z$（$z+tb=h(z,tb)$）なので $d\pi_z(b)=0$ です。$V$ のチャート $\varphi$ による表示 $V(y)=D(\varphi^{-1})_{\varphi(y)}v(\varphi(y))$ を $z$ で微分すると、$v(\varphi(z))=0$ なので $dV_z=D(\varphi^{-1})\circ dv_{\varphi(z)}\circ d\varphi_z$ で、これは $T_zM$ を $T_zM$ に写し、行列式は $\det dv_{\varphi(z)}$ です。以上から

$$d\mathsf{w}_z(a)=dV_z(a)\ \ (a\in T_zM),\qquad d\mathsf{w}_z(b)=b\ \ (b\in(T_zM)^\perp)$$

で、$\det d\mathsf{w}_z=\det dv_{\varphi(z)}\ne0$ です。補題 5.2 (2) から $\operatorname{ind}_z(\mathsf{w})=\operatorname{sign}\det dv_{\varphi(z)}$ です。

∎

補題 7.5（Morse 関数の勾配の指数）✓

$M\subset\mathbb{R}^N$ を部分多様体とし、$\mathbb{R}^N$ の内積から誘導される Riemann 計量を入れる。$f\colon M\to\mathbb{R}$ を Morse 関数、$\operatorname{grad}f$ を $\langle\operatorname{grad}f,a\rangle=df(a)$ で定まるベクトル場とする。$\operatorname{grad}f$ の零点は $f$ の臨界点で、すべて非退化であり、指数 $\lambda$ の臨界点 $p$ で $\operatorname{sign}\det d(\operatorname{grad}f)_p=(-1)^\lambda$ である。

証明（補題 7.5）

チャート $(x^1,\dots,x^n)$ で計量の成分を $G=(g_{ij})$（正定値対称行列）とすると、$\operatorname{grad}f$ のチャート表示は $v=G^{-1}\nabla f$（$\nabla f$ は偏微分を並べたもの）です。零点は $\nabla f=0$ の点、すなわち臨界点です。臨界点 $p$ では $\nabla f(p)=0$ なので $dv_p=G(p)^{-1}H(p)$（$H$ は Hessian。定義 2.1［Morse 理論］）で、$\det dv_p=\det H(p)/\det G(p)$ です。$H(p)$ は正則で負の固有値を $\lambda$ 個、正の固有値を $n-\lambda$ 個持つので $\operatorname{sign}\det H(p)=(-1)^\lambda$、$\det G>0$ です。

∎

定理 7.6（Poincaré–Hopf の定理）✓

$M$ を $n$ 次元の閉多様体（$n\ge2$）、$V$ を $M$ 上の滑らかなベクトル場で零点がすべて孤立しているものとする。このとき

$$\sum_{V(p)=0}\operatorname{ind}_p(V)=\chi(M)=\sum_{k=0}^n(-1)^kb_k(M)$$

が成り立つ。$M$ の向き付け可能性は仮定しない。

証明（定理 7.6）

$M$ を $\mathbb{R}^N$ に埋め込みます（定理 8.1［部分多様体と正則値定理］）。

第 1 段：非退化な場合。 $V$ の零点がすべて非退化なら、命題 7.2 と 補題 7.4 から $\sum_p\operatorname{ind}_p(V)=\deg g$ で、右辺は $V$ によりません。$M$ 上の Morse 関数 $f$ を取り（定理 4.1［Morse 理論］）、$V=\operatorname{grad}f$ で計算すると、補題 7.5 から、指数 $\lambda$ の臨界点の個数を $C_\lambda$ として

$$\deg g=\sum_\lambda(-1)^\lambda C_\lambda=\chi(M)$$

です（最後は Morse 不等式の等号 定理 7.3［Morse 理論］ (2)）。

第 2 段：一般の孤立零点。 $M$ はコンパクトなので零点は有限個です。零点 $p$ のまわりのチャートで、$V$ の表示 $v$ が $\overline{B_2}$ を含む開集合で定義され、$\overline{B_2}$ の中の零点は $0$ だけであるとします（零点ごとのチャートの像は互いに交わらないように取ります）。$c=\min_{1\le|x|\le2}|v(x)|>0$ とし、Sard の定理で $v$ の正則値 $y$ を $|y|<c$ に取ります。$\beta\colon\mathbb{R}^n\to[0,1]$ を $\overline{B_1}$ の上で $1$、台が $B_2$ に入る滑らかな関数とし、$v'=v-\beta y$ とおきます。$1\le|x|\le2$ では $|v'|\ge c-|y|>0$ なので、$v'$ の $\overline{B_2}$ の中の零点は $B_1$ にあり、そこでは $v'=v-y$ なので、零点は $v^{-1}(y)\cap B_1$ の点で非退化です。$\partial B_2$ の上で $v'=v$ なので、補題 5.2 (1) から

$$\sum_{v'(x)=0,\ x\in B_1}\operatorname{ind}_x(v')=W(v'|_{\partial B_2},0)=W(v|_{\partial B_2},0)=\operatorname{ind}_0(v)$$

です。各零点のまわりでこの置き換えをして得られるベクトル場 $V'$ は、零点がすべて非退化で、指数の和は $V$ と同じです。第 1 段からそれは $\chi(M)$ です。

∎

$n=1$ の閉多様体は円周の非交和で、$\chi=0$、零点のないベクトル場 $\partial/\partial\theta$ があります。

定理 7.7（零点のないベクトル場の存在）✓

$M$ を連結な閉多様体とする。$M$ 上にどこでも $0$ でない滑らかなベクトル場が存在することと、$\chi(M)=0$ は同値である。

証明（定理 7.7）

$n=\dim M=1$ のときは $M\cong S^1$（定理 4.4［横断性］）で両方とも成り立ちます。$n\ge2$ とします。零点のないベクトル場があれば 定理 7.6 の左辺は空な和で $\chi(M)=0$ です。

逆に $\chi(M)=0$ とします。$M$ を $\mathbb{R}^N$ に埋め込み、Morse 関数の勾配 $V$（補題 7.5）を取ると、零点は非退化なので有限個 $z_1,\dots,z_r$ です。チャート $\varphi\colon U\to\mathbb{R}^n$ で像が $\overline{B_2}$ を含むものを取り、$\varphi^{-1}(B_{1/2})$ の中に相異なる点 $q_1,\dots,q_r$ を選びます。定理 5.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ (2) により $\Phi(z_i)=q_i$ となる $M$ の微分同相 $\Phi$ があり、$V'=d\Phi\circ V\circ\Phi^{-1}$ は零点がちょうど $q_1,\dots,q_r$ のベクトル場です。チャート表示を $v\colon\overline{B_2}\to\mathbb{R}^n$ とすると、補題 5.2 (1) と 定理 7.6 から

$$\deg\bigl(v/|v|\colon\partial B_1\to S^{n-1}\bigr)=\sum_i\operatorname{ind}_{q_i}(V')=\chi(M)=0$$

です。

$\partial B_1=S^{n-1}$ で、この写像度はホモロジーによる写像度に等しいので（定理 4.5 (3)）、Hopf の写像度定理（系 6.2［Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理］）により $v/|v|$ は定値写像にホモトピックで、連続写像 $u\colon D^n\to S^{n-1}$ に拡張できます（補題 2.5［ホモトピー群とファイブレーション］）。$\overline{B_2}$ の上の連続写像 $\mathsf{W}$ を、$1\le|x|\le2$ で $\mathsf{W}=v$、$|x|\le1$ で $\mathsf{W}(x)=m(x)u(x)$、$m(x)=|x|\,|v(x/|x|)|+(1-|x|)$（$m(0)=1$）と定めると、$m>0$ で、$|x|=1$ で両者は一致し、$\mathsf{W}$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ への連続写像です。$\mathsf{W}$ は開集合 $\{1<|x|<2\}$ の上で滑らかなので、滑らかな近似（定理 8.1［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ (1)。多様体 $B_2$、値域 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$、閉集合 $\{\tfrac32\le|x|<2\}$）により、滑らかな $\tilde{\mathsf{W}}\colon B_2\to\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ で $\{\tfrac32\le|x|<2\}$ の近傍の上で $v$ に一致するものがあります。$\varphi^{-1}(B_2)$ の上で $V'$ を $\tilde{\mathsf{W}}$ の表すベクトル場に取り替えれば、$M$ 全体で滑らかな、どこでも $0$ でないベクトル場になります。

∎

例 7.8（Poincaré–Hopf の定理の例）

(a) $S^2$ の上で $z$ 軸まわりの回転のベクトル場 $V(x,y,z)=(-y,x,0)$ は北極と南極だけで $0$ です。北極のまわりで $(x,y)$ を座標に取ると $v=(-y,x)$、Jacobi 行列式は $1$ なので指数 $+1$、南極も同様で、和は $2=\chi(S^2)$ です。高さ関数の勾配でも、極小点（指数 $(-1)^0$）と極大点（$(-1)^2$）で和は $2$ です。

(b) トーラス $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ の上の $\partial/\partial x$ は零点を持たず、$\chi(T^2)=0$ と合っています。種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面を「立てて」置いたときの高さ関数は、極小点 $1$ 個、鞍点 $2g$ 個、極大点 $1$ 個を持ち、勾配の指数の和は $1-2g+1=2-2g$ です。

(c) $\chi(S^{2m})=2\ne0$ なので、偶数次元の球面上のベクトル場は必ず零点を持ちます。これは毛玉の定理（定理 6.3［胞体ホモロジーと写像度］）の滑らかな場合です。奇数次元の球面 $S^{2m-1}\subset\mathbb{C}^m$ では $V(z)=iz$ が零点のないベクトル場で、$\chi=0$ です。

(d) $\mathbb{C}P^n$ の上で、相異なる実数 $a_0,\dots,a_n$ による流れ $[z_0:\dots:z_n]\mapsto[e^{ta_0}z_0:\dots:e^{ta_n}z_n]$ の生成するベクトル場を考えます。零点は座標点 $[0:\dots:1:\dots:0]$ の $n+1$ 個です。$j$ 番目の座標点のまわりの座標 $w_i=z_i/z_j$（$i\ne j$）で流れは $w_i\mapsto e^{t(a_i-a_j)}w_i$、ベクトル場は $w_i\mapsto(a_i-a_j)w_i$ で、実 $2n$ 次元の線形写像としての行列式は $\prod_{i\ne j}(a_i-a_j)^2>0$ です。すべての零点が指数 $+1$ なので $\chi(\mathbb{C}P^n)=n+1$ です。

(e) $\mathbb{R}^3$ の中の向き付けられた閉曲面 $S$ に 補題 7.4 を使うと、$\partial N'$ は $S$ を法線の両側に押した 2 枚の曲面で、外向き法ベクトルは一方で $\nu$、他方で $-\nu$ です。後者は向きも対蹠写像（写像度 $-1$）も逆になるので、両方とも $\deg\nu$ を与え、$\chi(S)=2\deg\nu$ です。Gauss 写像 $\nu\colon S\to S^2$ の Jacobi 行列式は Gauss 曲率 $K$ なので、系 4.4 から $\int_SK\,dA=4\pi\deg\nu=2\pi\chi(S)$ で、Gauss–Bonnet の定理（定理 6.3［曲線と曲面］）と一致します。

8. 絡み数と局所 Lefschetz 数

8.1. 絡み数

定義 8.1（絡み数）↗

$K,L\subset\mathbb{R}^3$ を互いに交わらないコンパクトな向き付けられた境界のない 1 次元部分多様体（結び目、またはその有限個の非交和）とする。

$$\lambda_{K,L}\colon K\times L\to S^2,\qquad\lambda_{K,L}(x,y)=\frac{y-x}{|y-x|}$$

の写像度（$K\times L$ には積の向き）を $\operatorname{lk}(K,L)$ と書き、$K$ と $L$ の絡み数という。

$K$ を $L$ と交わらないままイソトピーで動かすと $\lambda_{K,L}$ はホモトピーで動くので、絡み数は変わりません。$K$ と $L$ が平面で分離されていれば、$\lambda_{K,L}$ は全射でなく絡み数は $0$ です。

命題 8.2（絡み数の 3 つの表示と対称性）✓

定義 8.1 の $K,L$ について次が成り立つ。

1. （Gauss の積分）$K,L$ を向きに合った径数 $x(s)$、$y(t)$ で表すと $$\operatorname{lk}(K,L)=\frac1{4\pi}\int_K\!\!\int_L\frac{\det\bigl(x'(s),\,y'(t),\,x(s)-y(t)\bigr)}{|x(s)-y(t)|^3}\,ds\,dt .$$
2. （Seifert 膜との交点数）$F\subset\mathbb{R}^3$ をコンパクトな向き付けられた 2 次元の境界付き部分多様体で、$\partial F=K$（境界の向き）となるものとし、$L$ は $F$ と横断的に交わるとする。このとき $$\operatorname{lk}(K,L)=\sum_{p\in F\cap L}\epsilon_p,$$ ただし $\epsilon_p$ は、$T_pF$ の正の基底 $(a_1,a_2)$ と $L$ の正の接ベクトル $b$ について $\operatorname{sign}\det(a_1,a_2,b)$ である。
3. （対称性）$\operatorname{lk}(L,K)=\operatorname{lk}(K,L)$。

証明（命題 8.2）

1。 $S^2$ の面積形式 $\omega_u(a,b)=\det(u,a,b)$（$\int_{S^2}\omega=4\pi$）に 系 4.4 を使います。$r=y-x$、$\lambda=r/|r|$ とすると、$\partial_s\lambda$ と $\partial_t\lambda$ は $\partial_sr/|r|=-x'/|r|$、$\partial_tr/|r|=y'/|r|$ に $r$ の倍数を足したもので、行列式では $r$ の倍数は消えるので

$$\lambda^{*}\omega(\partial_s,\partial_t)=\det(\lambda,\partial_s\lambda,\partial_t\lambda)=\frac{\det(r,-x',y')}{|r|^3}=\frac{\det(x',y',x-y)}{|x-y|^3}$$

です（列の巡回置換は行列式を変えず、$-\det(x',y',r)=\det(x',y',-r)$）。

2。 $D=F\times L$ はコンパクトな向き付けられた 3 次元の境界付き多様体で、境界は $\partial F\times L=K\times L$、境界の向きは積の向きです（外向きベクトル $\nu$ は $F$ の方向にあり、$(\nu,k,l)$ が正であることは $(\nu,k)$ が $F$ で正、$l$ が $L$ で正であることと同じです）。$G\colon D\to\mathbb{R}^3$、$G(x,y)=y-x$ とすると、$\partial G/|\partial G|=\lambda_{K,L}$ なので $\operatorname{lk}(K,L)=W(\partial G,0)$ です。$G$ の零点は $p\in F\cap L$ に対する $(p,p)$ で、$K\cap L=\varnothing$ なので内部にあります。$dG_{(p,p)}(a,b)=b-a$ は、$L\pitchfork F$ から $T_pF+T_pL=\mathbb{R}^3$ なので同型で、正の基底 $((a_1,0),(a_2,0),(0,b))$ の像は $(-a_1,-a_2,b)$、その行列式は $\det(a_1,a_2,b)$ です。補題 5.2 (1)(2) から $W(\partial G,0)=\sum_p\epsilon_p$ です。

3。 $\sigma\colon L\times K\to K\times L$、$\sigma(y,x)=(x,y)$ は、1 次元どうしの入れ替えなので向きを逆にします。$\alpha$ を $S^2$ の対蹠写像とすると $\lambda_{L,K}=\alpha\circ\lambda_{K,L}\circ\sigma$ で、$\alpha^{*}\omega=-\omega$（$\det(-u,-a,-b)=-\det(u,a,b)$）です。系 4.4 から

$$4\pi\operatorname{lk}(L,K)=\int_{L\times K}\sigma^{*}\lambda_{K,L}^{*}\alpha^{*}\omega=-\int_{L\times K}\sigma^{*}(\lambda_{K,L}^{*}\omega)=\int_{K\times L}\lambda_{K,L}^{*}\omega=4\pi\operatorname{lk}(K,L)$$

です。

∎

例 8.3（Hopf 絡み目と Whitehead 絡み目）

(a) $K$ を $xy$ 平面の単位円（反時計回り）、$L$ を $y(t)=(1+\cos t,0,\sin t)$ とします（Hopf 絡み目）。$F$ を $xy$ 平面の単位円板（向きは $(e_1,e_2)$。境界の向きは反時計回りです）とすると、$L$ が $F$ と交わるのは $t=\pi$ の原点だけで、そこでの速度は $(0,0,-1)$ です。$\epsilon=\operatorname{sign}\det(e_1,e_2,-e_3)=-1$ なので $\operatorname{lk}(K,L)=-1$ です。$L$ の向きを逆にすれば $+1$ になります。絡み数が $0$ でないので、Hopf 絡み目の 2 つの成分は互いに交わらないままでは引き離せません。

(b) Whitehead 絡み目は、一方の成分 $K$ が張る円板を、他方の成分 $L$ が上から下へ 1 回、下から上へ 1 回貫く形の 2 成分の絡み目です。命題 8.2 (2) から絡み数は $(-1)+(+1)=0$ です。それでもこの絡み目は引き離せないことが知られています（補空間の基本群で区別します）。絡み数は「外れない」ことの十分条件を与えますが、必要条件ではありません。

8.2. Lefschetz 写像と局所 Lefschetz 数

定義 8.4（Lefschetz 写像・局所 Lefschetz 数）↗

$X$ をコンパクトな向き付けられた境界のない $n$ 次元多様体、$f\colon X\to X$ を滑らかな写像とする。対角集合 $\Delta$ とグラフ $\Gamma_f=\{(x,f(x))\}$ は $X\times X$ の $n$ 次元部分多様体で、$X$ からの埋め込み $x\mapsto(x,x)$、$\gamma_f\colon x\mapsto(x,f(x))$ で向きを移す。

$$L(f)=I(\Delta,\Gamma_f)$$

を $f$ の（交点数による）Lefschetz 数という。$\Gamma_f\pitchfork\Delta$ のとき $f$ を Lefschetz 写像といい、不動点 $x$ における交わりの符号 $L_x(f)=\operatorname{sign}_{(x,x)}(\Delta,\Gamma_f)$ を局所 Lefschetz 数という。

$\Gamma_f\pitchfork\Delta$ は、すべての不動点で $df_x$ が固有値 $1$ を持たないことと同値です（演習 11.2［横断性］）。

命題 8.5（局所 Lefschetz 数）✓

定義 8.4 の状況で次が成り立つ。

1. $L(f)$ は $f$ のホモトピーで不変である。
2. $f$ が Lefschetz 写像ならば不動点は有限個で、各不動点 $x$ で $$L_x(f)=\operatorname{sign}\det(df_x-I),\qquad L(f)=\sum_{f(x)=x}\operatorname{sign}\det(df_x-I)$$ である。
3. $L(f)\ne0$ ならば $f$ は不動点を持つ。

証明（命題 8.5）

1。 命題 3.5 から $I(\Delta,\Gamma_f)=(-1)^{n^2}I(\Gamma_f,\Delta)=(-1)^nI(\gamma_f,\Delta)$ です。$f_t$ がホモトピーなら $\gamma_{f_t}$ もホモトピーなので、定理 3.4 から右辺は不変です。

2。 $\Delta\cap\Gamma_f$ はコンパクトな $0$ 次元多様体なので有限です。不動点 $x$ で、$T_xX$ の正の基底 $(e_1,\dots,e_n)$ を取り、$A=df_x$ とします。$T_{(x,x)}\Delta$ の正の基底は $(e_i,e_i)$、$T_{(x,x)}\Gamma_f$ の正の基底は $(e_i,Ae_i)$ で、$X\times X$ の正の基底 $(e_1,0),\dots,(e_n,0),(0,e_1),\dots,(0,e_n)$ に関してこれらを列に並べた行列は

$$\begin{pmatrix}I&I\\I&A\end{pmatrix},\qquad\det\begin{pmatrix}I&I\\I&A\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}I&I\\0&A-I\end{pmatrix}=\det(A-I)$$

です（第 1 ブロック行を第 2 ブロック行から引きました）。よって $L_x(f)=\operatorname{sign}\det(df_x-I)$ です。

3。 不動点がなければ $\Delta\cap\Gamma_f=\varnothing$ で、横断的かつ $I(\Delta,\Gamma_f)=0$ です。

∎

注意 8.6（大域的な Lefschetz 数と Euler 標数）

$L(f)$ は交点数として定義しましたが、コホモロジーへの作用のトレースの交代和 $\tau(f)=\sum_k(-1)^k\operatorname{tr}(f^{*}|H^k(X))$（定義 7.1［胞体ホモロジーと写像度］ の Lefschetz 数）と

$$L(f)=I(\Delta,\Gamma_f)=(-1)^n\tau(f),\qquad I(\Gamma_f,\Delta)=\sum_{f(x)=x}\operatorname{sign}\det(I-df_x)=\tau(f)$$

という関係にあります。これは対角集合の Poincaré 双対を Künneth の公式で分解して示すもので、Thom 類と Poincaré 双対 で証明します。符号 $(-1)^n$ は $\det(df_x-I)=(-1)^n\det(I-df_x)$ から来るもので、たとえば $S^1$ の $d$ 倍写像 $\theta\mapsto d\theta$（$d\ge2$）では、$d-1$ 個の不動点がすべて $\operatorname{sign}(d-1)=+1$ で $L=d-1$、一方 $\tau=1-d$ です。偶数次元では 2 つは一致します。特別な場合として $I(\Delta,\Delta)=L(\mathrm{id})=(-1)^n\chi(X)=\chi(X)$ です（奇数次元では $\chi=0$）。この等式は次のようにも理解できます。非退化な零点だけを持つベクトル場 $V$ の流れ $\theta_t$ は恒等写像にホモトピックで、小さい $t>0$ では不動点が $V$ の零点に限られ、そこで $d(\theta_t)_x-I$ は $t\,dV_x$ に近いので $L_x(\theta_t)=\operatorname{sign}\det dV_x=\operatorname{ind}_x(V)$ です。和を取ると Poincaré–Hopf の定理から $\chi(X)$ になります。

9. 演習

演習 9.1標準

連続写像 $f\colon D^n\to D^n$ は不動点を持つこと（Brouwer の不動点定理）を、系 4.6［横断性］ と滑らかな近似から導け。

解答

不動点がないとします。$c=\min_x|f(x)-x|>0$ です。まず $f$ を滑らかな写像で近似します。定理 6.1 (3) の証明と同じく、1 の分割で滑らかな $\tilde f\colon D^n\to\mathbb{R}^n$、$|\tilde f-f|<c/4$ を作り、$f_1=\tilde f/(1+c/4)$ とおくと、$|f_1|\le(1+c/4)/(1+c/4)=1$ で $f_1\colon D^n\to D^n$ は滑らか、$|f_1-f|\le|\tilde f-f|+|\tilde f|\cdot\frac{c/4}{1+c/4}<c/4+c/4$ なので $|f_1(x)-x|>c/2>0$ です。

$x$ から出て $f_1(x)$ と反対向きに進む半直線が $S^{n-1}$ と交わる点を $r(x)$ とします。$r(x)=x+t(x)(x-f_1(x))$、$t\ge0$ は $|x+t(x-f_1(x))|^2=1$ の非負の解で、2 次方程式の解の公式から

$$t(x)=\frac{-\langle x,d\rangle+\sqrt{\langle x,d\rangle^2+|d|^2(1-|x|^2)}}{|d|^2},\qquad d=x-f_1(x)$$

です。根号の中は、$|x|<1$ なら正、$|x|=1$ なら $\langle x,d\rangle^2$ で、$|x|=1$ のとき $\langle x,d\rangle=1-\langle x,f_1(x)\rangle>0$（$|f_1(x)|\le1$、$f_1(x)\ne x$ から $\langle x,f_1(x)\rangle<1$）なので正です。よって $t$ と $r$ は滑らかで、$|x|=1$ では $t=0$、$r(x)=x$ です。$r\colon D^n\to S^{n-1}$ は境界へのレトラクションで、系 4.6［横断性］ に反します。

演習 9.2標準

整数行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の定める写像 $f_A\colon T^2\to T^2$（$T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$、$[x]\mapsto[Ax]$）の写像度は $\det A$ であることを示せ。また、$\det(A-I)\ne0$ のとき $f_A$ の不動点の個数を求めよ。

解答

$\omega=dx\wedge dy$ は $T^2$ 上の形式を定め $\int_{T^2}\omega=1$ です。$f_A^{*}\omega=\det A\,dx\wedge dy$ なので、系 4.4 から $\deg f_A=\det A$ です（$\det A=0$ のとき $f_A$ の像は 1 次元以下で、全射でないことからも $0$ です）。

不動点は $(A-I)x\in\mathbb{Z}^2$ となる $[x]$ です。$df_A=A$ はどの点でも同じなので、$\det(A-I)\ne0$ なら $f_A$ は Lefschetz 写像で、すべての不動点の局所 Lefschetz 数は $\operatorname{sign}\det(A-I)$ です（命題 8.5）。不動点の個数は $f_{A-I}$ による $[0]$ の逆像の個数で、$f_{A-I}$ は至るところ Jacobi 行列式 $\det(A-I)$ の写像度 $\det(A-I)$ の写像なので、$|\det(A-I)|$ 個です。よって $L(f_A)=\det(A-I)=1-\operatorname{tr}A+\det A$ です。これは $H^0,H^1,H^2$ へのトレース $1,\operatorname{tr}A,\det A$ の交代和で、注意 8.6 と整合します。

演習 9.3易

$S^2=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ の上のベクトル場で、$\mathbb{C}$ の上では $v(z)=z^2$ と表されるものを考える。$\infty$ のまわりの座標 $w=1/z$ でこのベクトル場を表し、$\infty$ での指数を求めて 定理 7.6 を確かめよ。

解答

座標変換 $w=1/z$ の微分は $dw=-z^{-2}dz$ なので、$z$ 座標で成分 $z^2$ のベクトルは $w$ 座標で成分 $-z^{-2}\cdot z^2=-1$ です。したがって $\infty$（$w=0$）の近傍でベクトル場は定ベクトル場 $-1$ で、滑らかに延び、$\infty$ は零点ではありません。零点は $z=0$ だけで、指数は $2$（例 7.3）、$\chi(S^2)=2$ と一致します。同様に $v(z)=z^k$ は $w$ 座標で $-w^{2-k}$ となり、$k\le2$ のとき滑らかに延びて、指数の和は $k+(2-k)=2$ です。

演習 9.4標準

$K$ を $xy$ 平面の単位円（反時計回り）とし、$m\ge1$ に対し $L_m$ を

$$y(t)=\bigl((1+\tfrac12\cos mt)\cos t,\ (1+\tfrac12\cos mt)\sin t,\ \tfrac12\sin mt\bigr)\qquad(0\le t\le2\pi)$$

で定まる閉曲線とする。$L_m$ は $K$ と交わらないことを確かめ、$\operatorname{lk}(K,L_m)$ を求めよ。また、芯を半径 $2$ の円に取り替えた $\tilde y(t)=((2+\tfrac12\cos mt)\cos t,(2+\tfrac12\cos mt)\sin t,\tfrac12\sin mt)$ ではどうなるか。

解答

$L_m$ は、$K$ を芯とする小半径 $\tfrac12$ のトーラスの上を、芯のまわりに $m$ 回まわりながら 1 周します。$y(t)$ から $K$ への距離は、$z$ 軸からの距離 $\rho=1+\tfrac12\cos mt$ と高さ $z=\tfrac12\sin mt$ を使って $((\rho-1)^2+z^2)^{1/2}=\tfrac12$ なので、$L_m$ は $K$ と交わりません。

$F$ を $xy$ 平面の単位円板（例 8.3 と同じ向き）とします。$L_m$ が $F$ と交わるのは $z=0$ かつ $\rho<1$ のとき、すなわち $\sin mt=0$、$\cos mt=-1$ となる $m$ 個の $t$ で、そこでの速度の $z$ 成分は $\tfrac m2\cos mt=-\tfrac m2<0$ です。速度が $F$ に接していないので交わりは横断的で、各交点で $\epsilon=\operatorname{sign}\det(e_1,e_2,y')=-1$ です。命題 8.2 (2) から $\operatorname{lk}(K,L_m)=-m$ です。$m=1$ が Hopf 絡み目です。

$\tilde y$ では $z$ 軸からの距離が $\tfrac32$ 以上なので、曲線は $F$ と交わらず（$K$ とも交わらず）、絡み数は $0$ です。芯のまわりを何回まわっても、$K$ のまわりをまわらなければ絡みません。

参考文献

• V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974 — Chapter 2（§4〜§6：mod 2 交点数、回転数と Jordan–Brouwer の分離定理、Borsuk–Ulam の定理）、Chapter 3（向き付きの交点数、Lefschetz 不動点理論、ベクトル場と Poincaré–Hopf の定理）。
• J. W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, University Press of Virginia, 1965 — §4〜§6（写像度、ベクトル場の指数、Poincaré–Hopf の定理）。
• M. W. Hirsch, Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1976 — Chapter 5（写像度、交点数、Euler 標数）。
• D. Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish, 1976 — Chapter 5（絡み数の同値な定義）。
• H. Hopf, “Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 96 (1927), 225–250.