数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

ハムサンドイッチの定理

系 6.2（「交点数と写像度」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A_1,\dots,A_k\subset\mathbb{R}^k$ を有界な Lebesgue 可測集合とする。 $\mathbb{R}^k$ の超平面で、各 $A_i$ の体積を同時に 2 等分するものが存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 208 件、定義なども含めて 243 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
Borsuk–Ulam の定理✓定理 6.1・交点数と写像度
- 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理
    向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理この先をたどる →
    重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分この先をたどる →
  - Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性
    基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度
  - 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度この先をたどる →
  - 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度この先をたどる →
  - 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ハムサンドイッチの定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）