数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

境界の回転数は内部の零点の指数の和

補題 5.2（「交点数と写像度」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 186 件、定義なども含めて 219 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度

  • 向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理✓定理 3.4・交点数と写像度

    • mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度（上で展開済み）
    • 1 次元の逆像の境界の符号✓補題 3.3・交点数と写像度

      • 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性 この先をたどる →
      • コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性 この先をたどる →
    • 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度（上で展開済み）
  • mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度

    • 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性

      • 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル この先をたどる →
      • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
      • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
      • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
    • 境界で横断的なら内部だけ動かせばよい✓系 9.4・横断性

      • 横断性の拡張定理✓定理 9.3・横断性 この先をたどる →
    • 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性

      • 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性 この先をたどる →
      • 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
      • 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性 この先をたどる →
      • 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
      • 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性 この先をたどる →
    • 1 次元多様体の境界の点は偶数個✓系 4.5・横断性

      • 局所連結性と成分・弧状連結性✓命題 9.7・連結性 この先をたどる →
      • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
      • コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性 この先をたどる →
      • 境界点であることはチャートによらない✓補題 4.2・ストークスの定理 この先をたどる →
  • 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度（上で展開済み）
  • 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

    • 分離と連結性定義 2.1・連結性
• 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度

  • 滑らかな写像の写像度定義 4.1・交点数と写像度
  • 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度（上で展開済み）
  • 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度

    • Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
    • 正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度 この先をたどる →
    • チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理 この先をたどる →
    • Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
    • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
  • 写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーション

    • de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
    • 普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性 この先をたどる →
    • 最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー この先をたどる →
• 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度

  • 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性

    • Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性 この先をたどる →
    • ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性 この先をたどる →
    • 正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性 この先をたどる →
    • パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性 この先をたどる →
    • 管の補題✓補題 2.3・横断性 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

• Borsuk–Ulam の定理✓定理 6.1・交点数と写像度
• 指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度
• 指数の和は管状近傍の Gauss 写像の写像度✓補題 7.4・交点数と写像度
• Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度
• 零点のないベクトル場の存在✓定理 7.7・交点数と写像度
• 絡み数の 3 つの表示と対称性✓命題 8.2・交点数と写像度