数学 › 微分位相 › 交点数と写像度

絡み数の 3 つの表示と対称性

命題 8.2（「交点数と写像度」§8）・ ✓公理まで証明済み

定義 8.1 の $K,L$ について次が成り立つ。

（Gauss の積分） $K,L$ を向きに合った径数 $x(s)$ 、 $y(t)$ で表すと $\operatorname{lk}(K,L)=\frac1{4\pi}\int_K\!\!\int_L\frac{\det\bigl(x'(s),\,y'(t),\,x(s)-y(t)\bigr)}{|x(s)-y(t)|^3}\,ds\,dt .$
（Seifert 膜との交点数） $F\subset\mathbb{R}^3$ をコンパクトな向き付けられた 2 次元の境界付き部分多様体で、 $\partial F=K$ （境界の向き）となるものとし、 $L$ は $F$ と横断的に交わるとする。このとき $\operatorname{lk}(K,L)=\sum_{p\in F\cap L}\epsilon_p,$ ただし $\epsilon_p$ は、 $T_pF$ の正の基底 $(a_1,a_2)$ と $L$ の正の接ベクトル $b$ について $\operatorname{sign}\det(a_1,a_2,b)$ である。
（対称性） $\operatorname{lk}(L,K)=\operatorname{lk}(K,L)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 187 件、定義なども含めて 220 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度
- Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
    コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 正則値のまわりの逆像✓補題 4.3・交点数と写像度
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理
  - 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理
    中間値の定理✓定理 6.1・連結性この先をたどる →
  - 重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分
    重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分この先をたどる →
    平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分この先をたどる →
    一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分この先をたどる →
    逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
    一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分この先をたどる →
    長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
境界の回転数は内部の零点の指数の和✓補題 5.2・交点数と写像度
- 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度
  - 向き付き交点数のホモトピー不変性と境界定理✓定理 3.4・交点数と写像度この先をたどる →
  - mod 2 交点数のホモトピー不変性✓定理 2.2・交点数と写像度この先をたどる →
  - 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    分離と連結性定義 2.1・連結性
- 正則値による写像度の計算と、ホモロジーによる写像度との一致✓定理 4.5・交点数と写像度
  - 滑らかな写像の写像度定義 4.1・交点数と写像度
  - 写像度は点によらない✓命題 4.2・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 写像度の積分による表示✓系 4.4・交点数と写像度（上で展開済み）
  - 写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーションこの先をたどる →
- 境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度
  - 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
絡み数の射影図による公式✓系 4.7・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

絡み数の 3 つの表示と対称性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件