最高次のコホモロジーは積分で測る

系 5.2（「de Rham コホモロジー」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ とし、 $S^n$ に命題 3.3［ストークスの定理］の向きを入れる。このとき

\int_{S^n}\colon H^n_{\mathrm{dR}}(S^n)\to\mathbb{R},\qquad[\omega]\mapsto\int_{S^n}\omega

は well-defined な同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
    ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 4 件

写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーション
Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
Gysin 完全列✓定理 8.3・Thom 類と Poincaré 双対
穴あき平面の閉 1 形式✓系 5.3・de Rham コホモロジー

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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