穴あき平面の閉 1 形式

系 5.3（「de Rham コホモロジー」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\eta$ を角度形式とする。 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上の閉 1 形式 $\omega$ は、定数 $c=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{S^1}\omega$ と関数 $f$ を用いて $\omega=c\,\eta+df$ と書ける。ここで $S^1$ は単位円（反時計回り）。とくに $H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})=\mathbb{R}[\eta]$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
    ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

穴あき平面の閉 1 形式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）