球面のコホモロジー

定理 5.1（「de Rham コホモロジー」§5）・ ✓公理まで証明済み

$S^0$ （2 点）では $H^0_{\mathrm{dR}}=\mathbb{R}^2$ 、他の $k$ で $0$ 。
$n\ge1$ では

H^k_{\mathrm{dR}}(S^n)\cong\begin{cases}\mathbb{R}&(k=0,\ n),\\0&(\text{それ以外}).\end{cases}

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 28 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
- 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
  - ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
    Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
- 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 6 件

複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Milnor のエキゾチック 7 次元球面△定理 3.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
Gysin 完全列✓定理 8.3・Thom 類と Poincaré 双対
複素射影空間のコホモロジー環✓定理 8.4・Thom 類と Poincaré 双対
最高次のコホモロジーは積分で測る✓系 5.2・de Rham コホモロジー
穴あき平面の閉 1 形式✓系 5.3・de Rham コホモロジー

球面のコホモロジー

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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