数学 › 複素幾何 › Hodge 分解と Lefschetz 分解

複素射影空間の Betti 数

補題 5.7（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジー

  • ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー

    • ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー

      • Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
      • Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
• Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー

  • 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー

    • 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

      • ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
      • 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
      • 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式 この先をたどる →
  • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  • ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
• 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
• 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー

  • 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
  • Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
  • 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
  • Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
• Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー

  • 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー

    • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理

      • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
      • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  • 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
• Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性

  • 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
• 射影空間の 1 次ホモロジー✓補題 9.2・層コホモロジーと直線束
• 射影空間の Picard 群とコホモロジー✓系 9.3・層コホモロジーと直線束