射影空間の Picard 群とコホモロジー

系 9.3（「層コホモロジーと直線束」§9）・ ✓公理まで証明済み

$H^q(\mathbb{P}^n,\Omega^p)$ は $0\le p=q\le n$ のとき $\mathbb{C}$ 、それ以外は $0$ である。とくに $q\ge1$ で $H^q(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0$ 。
$\ell=\lbrace z_2=\dots=z_n=0\rbrace\subset\mathbb{P}^n$ を直線とする。 $d(L)=\int_\ell c_1(L,h)$ は $L$ の Hermite 計量 $h$ によらない整数で、 $d\colon\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ は群の同型、 $d(\mathcal{O}(1))=1$ である。したがって $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ は $\mathcal{O}(1)$ で生成され、任意の正則直線束はただ一つの $k\in\mathbb{Z}$ について $\mathcal{O}(k)$ と同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 446 件、定義なども含めて 508 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dolbeault の定理✓定理 5.1・層コホモロジーと直線束
- 細層は非輪状✓補題 3.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- Dolbeault–Grothendieck の補題✓定理 7.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- 非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Fubini–Study 計量✓命題 4.1・Kähler 多様体この先をたどる →
- Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- 複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
- Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類この先をたどる →
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量✓定理 5.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Hartogs の延長定理✓定理 7.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子（上で展開済み）
多重円板上の直線束は自明✓命題 9.1・層コホモロジーと直線束
- Dolbeault の定理✓定理 5.1・層コホモロジーと直線束（上で展開済み）
- 多重円板と ℂⁿ の Dolbeault コホモロジー✓定理 7.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- 定数層のコホモロジーと特異コホモロジー✓定理 4.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- Picard 群と H¹(X, 𝒪*)✓定理 6.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
指数完全列の連結準同型と第一 Chern 類✓定理 7.2・層コホモロジーと直線束
- H¹ と Čech 1 コサイクル✓補題 6.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
- チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性この先をたどる →
射影空間の 1 次ホモロジー✓補題 9.2・層コホモロジーと直線束
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
- Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- コンパクト多様体の整係数コホモロジー✓補題 8.3・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 定数層のコホモロジーと特異コホモロジー✓定理 4.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

射影空間の Picard 群とコホモロジー

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）