Dolbeault コホモロジーの基本性質

命題 5.2（「概複素構造と Dolbeault コホモロジー」§5）・ ✓公理まで証明済み

$H^{p,0}(X)=\Omega^p(X)$ である。 $\alpha\in A^{p,0}(X)$ が正則 $p$ 形式であることは、正則座標で $\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz_I$ と書いたとき係数 $f_I$ がすべて正則関数であることと同値である。
正則写像 $F:X\to Y$ による引き戻しは $\bar\partial$ と可換で、線型写像 $F^{*}:H^{p,q}(Y)\to H^{p,q}(X)$ を引き起こす。
ウェッジ積は双線型写像 $H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\to H^{p+p',q+q'}(X)$ を引き起こす。
$X$ がコンパクトのとき、積分は線型写像 $\int_X:H^{n,n}(X)\to\mathbb{C}$ を定め、これは全射である。とくに $H^{n,n}(X)\ne0$ 。
$X$ がコンパクトで、 $\alpha$ が恒等的に $0$ ではない正則 $n$ 形式のとき、 $\alpha$ は $d$ 完全ではなく、 $\bar\alpha\in A^{0,n}(X)$ は $\bar\partial$ 閉で $\bar\partial$ 完全ではない。とくに $H^{0,n}(X)\ne0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 95 件、定義なども含めて 118 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
  - シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
(p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
- (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
- 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
- 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 向き付け可能性定義 3.1・ストークスの定理
- 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像（上で展開済み）
  - 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理
  - 中間値の定理✓定理 6.1・連結性この先をたどる →
- 概複素構造・正則接束・(p,q) 形式定義 3.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
- チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

多重円板と ℂⁿ の Dolbeault コホモロジー✓定理 7.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子

Dolbeault コホモロジーの基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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