向き付け可能性

$M$ を $n$ 次元多様体（$n \ge 1$）とする。$M$ 上の $C^\infty$ 級 $n$ 形式 $\mu$ で、すべての $p \in M$ に対し $\mu_p \ne 0$ となるものが存在するとき、$M$ は向き付け可能 (orientable) であるという。そのような $\mu$ を向きの形式と呼び、$T_pM$ の順序基底 $(v_1,\ldots,v_n)$ が $\mu_p(v_1,\ldots,v_n) > 0$ を満たすとき正の向きであるという。

$\mu$ と $\mu'$ が同じ向きを定めるのは、至るところ正の関数 $h$ で $\mu' = h\mu$ となるときである。この同値類を一つ指定した多様体を向き付けられた多様体という。