第一 Chern 類

定理 4.5（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を複素多様体とする。

正則ベクトル束 $E$ の Hermite 計量 $h,h'$ について、 $c_1(E,h')-c_1(E,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\phi=d\bigl(\frac{i}{2\pi}\partial\phi\bigr)$ である。ここで $\phi=\log(\det H'/\det H)$ は $X$ 上の実数値の滑らかな関数である。したがって de Rham 類 $[c_1(E,h)]\in H^2_{\mathrm{dR}}(X)$ は $h$ によらず、Chern–Weil 理論の第一 Chern 類 $c_1(E)$ （定義 3.1［Chern–Weil 理論と特性類］）に等しい。また $c_1(E,h)=c_1(\det E,\det h)$ である。
Hermite 正則直線束 $(L,h)$ 、 $(L',h')$ について、 $L\otimes L'$ に計量 $hh'$ 、 $L^{*}$ に計量 $h^{-1}$ 、正則写像 $f:Y\to X$ による引き戻し $f^{*}L$ に計量 $h\circ f$ を入れると

c_1(L\otimes L',hh')=c_1(L,h)+c_1(L',h'),\qquad c_1(L^{*},h^{-1})=-c_1(L,h),\qquad c_1(f^{*}L,h\circ f)=f^{*}c_1(L,h)

が形式の等式として成り立つ。自明束に定数の計量を入れると第一 Chern 形式は $0$ である。 3. したがって $c_1:\operatorname{Pic}(X)\to H^2_{\mathrm{dR}}(X)$ 、 $[L]\mapsto c_1(L)$ は群準同型で、正則写像による引き戻しと可換である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 103 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類
- 共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
  - ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続
    切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
    曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
  - 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
- 接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
- (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 向き付け可能性定義 3.1・ストークスの定理
  - 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理この先をたどる →
  - 概複素構造・正則接束・(p,q) 形式定義 3.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 6 件

𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量✓定理 5.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
Poincaré–Lelong の公式と Riemann 面上の次数✓定理 7.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
Ricci 形式と第一 Chern 類✓定理 7.2・Kähler 多様体
爆発の上の正値性✓補題 5.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
射影空間の Picard 群とコホモロジー✓系 9.3・層コホモロジーと直線束
Riemann 面の Riemann–Roch の定理✓命題 9.4・層コホモロジーと直線束

第一 Chern 類

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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