𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量

定理 5.2（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ 、 $k\in\mathbb{Z}$ とする。

$z_0,\dots,z_n$ の $k$ 次斉次多項式 $P$ に対し、 $(s_P)_j=P(z)/z_j^k$ は $\mathcal{O}(k)$ の正則切断 $s_P$ を定める。 $P\mapsto s_P$ は、 $k$ 次斉次多項式の空間 $S_k$ から $H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))$ への線型同型である。とくに $k<0$ なら $H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=0$ 、 $k\ge0$ なら $\dim H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=\binom{n+k}{n}$ である。
$U_j$ 上の正則枠のノルムの 2 乗を $h_j=|z_j|^2/|z|^2$ （ $|z|^2=\sum_i|z_i|^2$ ）とすると、これは $\mathcal{O}(1)$ の Hermite 計量 $h_{FS}$ を定め、その第一 Chern 形式は

\omega_{FS}:=c_1(\mathcal{O}(1),h_{FS})=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|z|^2

である（右辺は、 $U_j$ 上で $\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log(|z|^2/|z_j|^2)$ を表す）。 $\mathcal{O}(k)$ に計量 $h_{FS}^k$ を入れると第一 Chern 形式は $k\,\omega_{FS}$ である。 3. 直線 $\ell=\{z_2=\dots=z_n=0\}\cong\mathbb{P}^1$ について $\int_\ell\omega_{FS}=1$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 107 件、定義なども含めて 131 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hartogs の延長定理✓定理 7.1・複素多様体と正則写像
- 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論（上で展開済み）
- コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論（上で展開済み）
べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論
- 多重円板の Cauchy 積分公式✓定理 2.2・多変数複素関数論
  - コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
- Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類
  - 共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
    ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続この先をたどる →
    曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
  - 接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
    切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Fubini–Study 計量✓命題 4.1・Kähler 多様体
爆発の上の正値性✓補題 5.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
爆発の上の切断と、点での値・微分✓補題 5.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
射影空間の Picard 群とコホモロジー✓系 9.3・層コホモロジーと直線束

𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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