ゲージ変換の局所表示と作用

命題 6.2（「ファイバー束・主束と接続」§6）・ ✓公理まで証明済み

ゲージ変換 $\Phi$ は $\Phi(s_\alpha(x))=s_\alpha(x)h_\alpha(x)$ により滑らかな写像 $h_\alpha\colon U_\alpha\to G$ の族を定め、 $h_\beta=g_{\alpha\beta}^{-1}h_\alpha g_{\alpha\beta}$ を満たす。逆にこの条件を満たす族はゲージ変換を定める。
$\Phi^*\omega$ は接続形式で、その局所ゲージポテンシャルと曲率は $A^\Phi_\alpha=h_\alpha^{-1}A_\alpha h_\alpha+h_\alpha^{-1}dh_\alpha,\qquad F^\Phi_\alpha=h_\alpha^{-1}F_\alpha h_\alpha.$
同伴束の切断の成分を $\psi_\alpha\mapsto h_\alpha^{-1}\psi_\alpha$ と変換すると、 $\nabla^\Phi(h^{-1}\psi)=h^{-1}\nabla\psi$ （共変微分は共変に変換する）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。