ホロノミー群の性質

命題 7.3（「ファイバー束・主束と接続」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\operatorname{Hol}_u(\omega)$ は $G$ の部分群で、 $\mathrm{hol}_u(\gamma_2*\gamma_1)=\mathrm{hol}_u(\gamma_2)\,\mathrm{hol}_u(\gamma_1)$ （ $\gamma_2*\gamma_1$ は $\gamma_1$ の後に $\gamma_2$ をたどるループ）。
$\operatorname{Hol}_{ug}(\omega)=g^{-1}\operatorname{Hol}_u(\omega)g$ 。 $M$ が連結なら、ホロノミー群は共役を除いて基点によらない。
局所切断 $s$ で $u=s(x)$ とすると、 $\mathrm{hol}_u(\gamma)=g(1)$ （ $g$ は定理 7.1 の方程式の $g(0)=1$ の解）で、ゲージ変換 $\Phi$ （局所表示 $h$ ）で変換した接続について $\mathrm{hol}_u^{\Phi^*\omega}(\gamma)=h(x)^{-1}\mathrm{hol}_u^{\omega}(\gamma)h(x)$ 。とくに表現 $\rho$ の Wilson ループ $W(\gamma)=\operatorname{tr}\rho(\mathrm{hol}(\gamma))$ はゲージ不変である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 77 件、定義なども含めて 94 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

水平持ち上げ✓定理 7.1・ファイバー束・主束と接続
- 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
    指数写像定義 6.1・リー群とリー環
  - Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続
- 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
- 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続

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曲面上の Chern 数の整数性✓定理 4.1・Chern–Weil 理論と特性類

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