水平持ち上げ

定理 7.1（「ファイバー束・主束と接続」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\gamma\colon[0,1]\to M$ を区分的に滑らかな曲線、 $u_0\in\pi^{-1}(\gamma(0))$ とする。 $\tilde\gamma(0)=u_0$ 、 $\pi\circ\tilde\gamma=\gamma$ で、 $\omega(\dot{\tilde\gamma})=0$ となる曲線 $\tilde\gamma$ （水平持ち上げ）がただ一つ存在する。 $u_0g$ から出る水平持ち上げは $\tilde\gamma g$ である。局所切断 $s$ を使って $\tilde\gamma(t)=s(\gamma(t))g(t)$ と書くと、 $g$ は

\dot g(t)=-A\bigl(\dot\gamma(t)\bigr)\,g(t)

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 74 件、定義なども含めて 91 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
  - 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
- Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
- 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
- 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
- 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
    ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
  - パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

ホロノミー群の性質✓命題 7.3・ファイバー束・主束と接続
平坦な接続は局所的に自明✓定理 7.5・ファイバー束・主束と接続

水平持ち上げ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件