数学 › 微分幾何学 › ファイバー束・主束と接続

平坦な接続は局所的に自明

定理 7.5（「ファイバー束・主束と接続」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 109 件、定義なども含めて 130 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 平坦性の判定✓定理 2.4・曲率テンソル

  • 曲率はテンソル場✓命題 2.2・曲率テンソル

    • Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

      • シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
      • ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
    • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  • 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系

    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

      • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
    • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性

      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
  • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性 この先をたどる →
  • 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
  • Levi-Civita 接続の平行移動は等長✓定理 6.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
  • 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
    • Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
  • Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー

    • 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー この先をたどる →
    • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    • ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー この先をたどる →
  • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

    • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
• 水平持ち上げ✓定理 7.1・ファイバー束・主束と接続

  • 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  • 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
  • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環 この先をたどる →
    • Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
    • 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
    • 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
  • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
• ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続

  • 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  • 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 2 問

• 微分幾何学 第 69 問
• 微分幾何学 第 73 問