数学 › 微分幾何学 › 曲率テンソル

曲率はテンソル場

命題 2.2（「曲率テンソル」§2）・ ✓公理まで証明済み

$R$ は $X,Y,Z$ のそれぞれについて $C^\infty(M)$ 線形であり、したがって $(1,3)$ 型テンソル場である。成分は

R_{ijk}{}^l=\partial_i\Gamma^l_{jk}-\partial_j\Gamma^l_{ik}+\sum_m\bigl(\Gamma^m_{jk}\Gamma^l_{im}-\Gamma^m_{ik}\Gamma^l_{jm}\bigr).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
- ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

平坦性の判定✓定理 2.4・曲率テンソル