数学 › 微分幾何学 › 曲率テンソル

平坦性の判定

定理 2.4（「曲率テンソル」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 103 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 曲率はテンソル場✓命題 2.2・曲率テンソル

  • Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
    • ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
  • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
• 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系

  • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

    • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
  • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性

    • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
  • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性

    • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
• 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

  • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性

    • 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
    • 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
    • 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
  • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性

    • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    • C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
    • 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
  • パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性 この先をたどる →
• 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

  • 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
  • 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
• Levi-Civita 接続の平行移動は等長✓定理 6.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

  • 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
• 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

  • 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
  • Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
• Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー

  • 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー この先をたどる →
  • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  • ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー この先をたどる →
• 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

  • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 平坦な接続は局所的に自明✓定理 7.5・ファイバー束・主束と接続

関連するノック 1 問

• 微分幾何学 第 35 問