数学 › 微分幾何学 › Riemann 計量と Levi-Civita 接続

Levi-Civita 接続の平行移動は等長

定理 6.3（「Riemann 計量と Levi-Civita 接続」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(M,g)$ 上のアフィン接続 $\nabla$ について、次は同値である。

$\nabla$ は計量と両立する。
任意の曲線 $\gamma$ と $\gamma$ に沿ったベクトル場 $V,W$ について $\frac{d}{dt}\langle V,W\rangle=\langle D_tV,W\rangle+\langle V,D_tW\rangle$ 。
任意の曲線に沿った平行移動は内積を保つ線形同型（等長写像）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

平坦性の判定✓定理 2.4・曲率テンソル
正規座標での計量の展開✓補題 6.2・熱核の漸近展開

関連するノック 3 問