Poincaré の補題

定理 3.4（「de Rham コホモロジー」§3）・ ✓公理まで証明済み

$U\subset\mathbb{R}^n$ を星形の開集合（ある $x_0\in U$ が存在し、すべての $x\in U$ について線分 $[x_0,x]\subset U$ ）とする。このとき $H^0_{\mathrm{dR}}(U)=\mathbb{R}$ 、 $k\ge1$ で $H^k_{\mathrm{dR}}(U)=0$ 。すなわち $U$ 上の閉 $k$ 形式（ $k\ge1$ ）は完全である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
- 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
- ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
  - Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式（上で展開済み）
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式

これを使っている定理証明で参照している 11 件

de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性
Leray–Hirsch の定理（de Rham 版）✓定理 5.6・コホモロジーと双対性
Poincaré 双対定理（de Rham 版）✓定理 6.4・コホモロジーと双対性
複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kähler ポテンシャル✓命題 3.2・Kähler 多様体
定数層のコホモロジーと de Rham コホモロジー✓定理 4.2・層コホモロジーと直線束
平坦性の判定✓定理 2.4・曲率テンソル
Seifert 膜の存在✓定理 4.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
単連結な多様体の閉 1 形式は完全✓補題 2.4・ポアンカレ予想 I
球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー
リウヴィル・アーノルドの定理✓定理 4.4・ハミルトン・ヤコビ理論と可積分系

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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