単連結な多様体の閉 1 形式は完全
を連結で単連結な多様体とする。 上の閉 形式はすべて完全である。すなわち 。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 31 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 閉 1 形式が完全である条件✓命題 2.4・de Rham コホモロジー
Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジー
引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式 この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー
ホモトピー公式✓命題 3.1・de Rham コホモロジー
- Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
- 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性 この先をたどる →
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 単連結な閉 3 次元多様体の実コホモロジー✓命題 2.6・ポアンカレ予想 I