曲面上の Chern 数の整数性

定理 4.1（「Chern–Weil 理論と特性類」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\Sigma$ を向き付けられた閉曲面とし、 $\Sigma$ が有限個の閉多角形 $D_1,\dots,D_m$ に分割されているとする。ここで各 $D_j$ はある座標チャートの中の（区分的に滑らかな辺を持つ）多角形で、向きは $\Sigma$ から誘導され、二つの多角形は辺または頂点でのみ交わり、各辺はちょうど二つの多角形に（逆向きに）属する。さらに直線束 $L$ は各 $D_j$ の近傍で自明であるとする。このとき $L$ の任意の $U(1)$ 接続について

\int_\Sigma c_1(L)=\frac{i}{2\pi}\int_\Sigma F\in\mathbb{Z}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 78 件、定義なども含めて 95 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
ホロノミー群の性質✓命題 7.3・ファイバー束・主束と接続
- 水平持ち上げ✓定理 7.1・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環この先をたどる →
    Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
    埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
    部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続

これを使っている定理証明で参照している 1 件

2 次元の twisted Dirac 作用素の指数定理✓定理 3.9・指数定理

曲面上の Chern 数の整数性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件