数学 › 微分幾何学 › 指数定理

2 次元の twisted Dirac 作用素の指数定理

定理 3.9（「指数定理」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 308 件、定義なども含めて 354 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 2 次元の twisted Dirac 作用素の性質✓補題 3.6・指数定理

  • スピン接続✓命題 6.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
      • Spin(n) は SO(n) の連結な 2 重被覆✓定理 8.6・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
      • 連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
      • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
  • Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • スピン接続の曲率✓命題 6.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    • Cartan の構造方程式✓定理 6.2・曲率テンソル

      • 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
    • 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
  • Lichnerowicz の公式✓定理 5.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• Dirac 型作用素の熱核の小時間展開✓定理 3.7・指数定理

  • Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開

    • 熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
    • スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理 この先をたどる →
    • 共役作用素定義 5.1・非有界作用素
    • 可閉作用素と閉包定義 4.5・非有界作用素
    • 対称作用素定義 7.1・非有界作用素
    • 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素 この先をたどる →
    • 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
    • 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
    • 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    • スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 関数計算定義 6.1・スペクトル定理と関数計算
    • 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開（上で展開済み）
    • 熱核の小時間漸近展開✓定理 6.1・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • 係数 a₀ と a₁✓命題 6.3・熱核の漸近展開 この先をたどる →
  • 関数の Laplacian と Dirac 型作用素の 2 乗✓命題 2.3・熱核の漸近展開

    • 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
  • 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開

    • 誤差の評価✓補題 3.4・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開 この先をたどる →
    • 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開 この先をたどる →
• マッキーン・シンガーの公式✓命題 3.5・指数定理
• 曲面上の Chern 数の整数性✓定理 4.1・Chern–Weil 理論と特性類

  • 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
  • ホロノミー群の性質✓命題 7.3・ファイバー束・主束と接続

    • 水平持ち上げ✓定理 7.1・ファイバー束・主束と接続 この先をたどる →
    • ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続 この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。