Dirac 型作用素の熱核の小時間展開

定理 3.7（「指数定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を $n$ 次元（ $n\ge1$ ）の向き付けられた閉 Riemann 多様体、 $E$ を Clifford 加群、 $D$ をその Dirac 型作用素とし、Weitzenböck 公式 $D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R}$ を書く。

$D$ は $L^2(E)$ 上の自己共役作用素に一意に延び、コンパクトレゾルベントをもつ。各 $t\gt0$ で $e^{-tD^2}$ はトレースクラスで、滑らかな核 $K_t(x,y)\in\operatorname{Hom}(E_y,E_x)$ をもち、 $E$ の滑らかな自己準同型 $\Phi$ について $\operatorname{Tr}(\Phi e^{-tD^2})=\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi(x)K_t(x,x)\bigr)\mathrm{vol}(x)$ である。
$t\to0$ で、 $x$ について一様に

K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(1+t\Bigl(\frac{s(x)}6-\mathcal{R}(x)\Bigr)+O(t^2)\Bigr)\qquad(\operatorname{End}(E_x)\text{ の元として}).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 271 件、定義なども含めて 314 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開
- 熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
  - 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
  - Schatten クラスとトレースクラス定義 7.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 共役作用素定義 5.1・非有界作用素
- 可閉作用素と閉包定義 4.5・非有界作用素
- 対称作用素定義 7.1・非有界作用素
- 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素
  - 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素この先をたどる →
- 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
- 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
  - 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
- 関数計算定義 6.1・スペクトル定理と関数計算
- 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 熱核の小時間漸近展開✓定理 6.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 係数 a₀ と a₁✓命題 6.3・熱核の漸近展開この先をたどる →
関数の Laplacian と Dirac 型作用素の 2 乗✓命題 2.3・熱核の漸近展開
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開
- 誤差の評価✓補題 3.4・熱核の漸近展開この先をたどる →
- Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

2 次元の twisted Dirac 作用素の指数定理✓定理 3.9・指数定理

Dirac 型作用素の熱核の小時間展開

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件