Duhamel の公式

補題 4.3（「熱核の漸近展開」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T\gt0$ 、 $a\ge0$ とし、 $G$ を $(0,T]\times M$ 上の $E\otimes V$ の切断で、 $x$ についての 2 階までの導関数が $(s,x)$ について連続であり、 $\|G_s\|_{C^2}\le Cs^a$ をみたすものとする。

W_t(x)=\int_0^t\bigl(k^N_{t-s}G_s\bigr)(x)\,ds

とおくと、 $|W_t(x)|\le C_0Ct^{a+1}$ で、 $W$ は $(0,T)\times M$ 上で $t$ について 1 回、 $x$ について 2 回連続的微分可能であり、

(\partial_t+P)W_t=G_t+\int_0^t\bigl(r^N_{t-s}G_s\bigr)(x)\,ds,\qquad(r^N_ug)(x)=\int_Mr^N_u(x,z)g(z)\,d\mu(z)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 150 件、定義なども含めて 173 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
  - 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
    Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性この先をたどる →
  - Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性この先をたどる →
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開
  - 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開

Duhamel の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件