数学 › 微分幾何学 › 熱核の漸近展開

熱核の存在・一意性・近似

定理 4.6（「熱核の漸近展開」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 167 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 誤差の評価✓補題 3.4・熱核の漸近展開

  • 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開

    • Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
    • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
  • 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開

    • 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開（上で展開済み）
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開

  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開

  • 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開

  • 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開

    • 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性 この先をたどる →
    • 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性 この先をたどる →
    • Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性 この先をたどる →
    • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性 この先をたどる →
    • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
    • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  • 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
  • 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開

  • 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素 この先をたどる →
  • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
  • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
  • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開
• 熱核の小時間漸近展開✓定理 6.1・熱核の漸近展開
• Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開
• 熱核の局所展開（Minakshisundaram–Pleijel）✓定理 7.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• Dirac 型作用素の熱核の小時間展開✓定理 3.7・指数定理