Clifford 加群と Dirac 型作用素

$S\to M$ を計量と、それと両立する接続 $\nabla$ を持つベクトル束とする。各 $v\in T_pM$ に対し $c(v)\in\operatorname{End}(S_p)$ が $v$ について線形で、$c(v)^2=-|v|^2$、$c(v)^*=-c(v)$、$\nabla_X(c(Y)\psi)=c(\nabla_XY)\psi+c(Y)\nabla_X\psi$ を満たすとき、$S$ を Clifford 加群といい、$D=\sum_ic(E_i)\nabla_{E_i}$ を Dirac 型作用素という。また $\nabla^*\nabla=-\sum_i\bigl(\nabla_{E_i}\nabla_{E_i}-\nabla_{\nabla_{E_i}E_i}\bigr)$ を接続 Laplacian という。