熱核の小時間漸近展開

定理 6.1（「熱核の漸近展開」§6）・ ✓公理まで証明済み

$a_k(x)=\Phi_k(x,x)\in\operatorname{End}(E_x)$ （命題 3.2）とおく。各 $N\ge0$ について、 $x$ について一様に、 $0\lt t\le1$ で

K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(\sum_{k=0}^Nt^ka_k(x)+O(t^{N+1})\Bigr).

係数 $a_k$ はこの性質で一意に決まる。とくに、 $E$ の連続な自己準同型の場 $\Phi$ について

\operatorname{Tr}(\Phi\mathcal{T}_t)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(\sum_{k=0}^Nt^k\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi\,a_k\bigr)d\mu+O(t^{N+1})\Bigr),\qquad\sum_je^{-t\lambda_j}=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(\sum_{k=0}^Nt^k\int_M\operatorname{tr}a_k\,d\mu+O(t^{N+1})\Bigr).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 249 件、定義なども含めて 284 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開
- 誤差の評価✓補題 3.4・熱核の漸近展開
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開
  - 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開
  - 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
- 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開
  - 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開（上で展開済み）
  - 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Hilbert–Schmidt 作用素定義 6.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- Schatten クラスとトレースクラス定義 7.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素この先をたどる →
  - Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素この先をたどる →
- トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Dirac 型作用素の熱作用素✓定理 7.1・熱核の漸近展開
熱核の局所展開（Minakshisundaram–Pleijel）✓定理 7.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

熱核の小時間漸近展開

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件