数学 › 関数解析と作用素論 › コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

トレースの定義と基本性質

定理 7.7（「コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス」§7）・ ✓公理まで証明済み

$T\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H})$ とする。

任意の正規直交基底 $(e_n)$ について $\sum_n\langle e_n, Te_n\rangle$ は絶対収束し、その値 $\mathrm{tr}\,T$ は基底によらない。
$|\mathrm{tr}\,T|\le\|T\|_1$ 。 $T\ge0$ なら $\mathrm{tr}\,T = \|T\|_1$ 。
$\mathrm{tr}$ は $\mathcal{S}_1$ 上で線形である。
$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ なら $\mathrm{tr}(AT) = \mathrm{tr}(TA)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
    三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面この先をたどる →
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素
  - 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - 特異値の比較✓補題 6.1・作用素不等式と積分作用素
    ミニマックス原理✓定理 6.3・作用素の収束と摂動この先をたどる →
    ミニマックス値の単調性✓系 6.5・作用素の収束と摂動
- Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素
  - Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 13 件

熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
射影の対の指数の性質✓命題 5.2・外場 QED と Shale–Stinespring の定理
Witten 指数の熱核表示✓定理 3.2・超対称量子力学と Witten 指数
群の交換子の行列式（Helton–Howe・Pincus）✓定理 5.6・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
有限階数での評価✓補題 7.2・Fredholm 理論
トレースノルムで連続な族の積分✓補題 7.10・Fredholm 理論
トレースの微分公式✓補題 5.2・1 次元散乱と Jost 関数
Fermi 場がないときの転送行列表示✓命題 6.8・Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部
Fermi 場を含む転送行列表示✓命題 6.12・Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部
類関数の畳み込み作用素の正値性✓補題 3.1・Lüscher (1977)
真空への射影（原論文 (26), (27)）✓命題 5.7・Lüscher (1977)
時間方向の劣乗法性✓補題 4.3・N_τ 評価と圧力の線形上界

トレースの定義と基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 13 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 13 件