数学 › Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理 › 外場 QED と Shale–Stinespring の定理有料章

射影の対の指数の性質

命題 5.2（「外場 QED と Shale–Stinespring の定理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 138 件、定義なども含めて 155 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 二つの射影の標準形✓補題 3.1・外場 QED と Shale–Stinespring の定理

  • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素 この先をたどる →
    • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    • 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
• 指数の積公式✓定理 4.4・Fredholm 理論

  • Atkinson の定理✓定理 4.2・Fredholm 理論

    • 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論

      • Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
      • 逆写像定理（有界逆定理）✓系 6.2・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
    • Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論

      • Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論 この先をたどる →
      • 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論（上で展開済み）
      • Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
      • Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算 この先をたどる →
      • 有限ランクの Riesz 射影と極✓命題 7.3・ベクトル値解析と関数計算 この先をたどる →
    • 1 + コンパクトの指数は 0✓補題 4.3・Fredholm 理論（上で展開済み）
• 指数の安定性✓定理 4.5・Fredholm 理論

  • Atkinson の定理✓定理 4.2・Fredholm 理論（上で展開済み）
  • 指数の積公式✓定理 4.4・Fredholm 理論（上で展開済み）
  • 1 + コンパクトの指数は 0✓補題 4.3・Fredholm 理論

    • Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論（上で展開済み）
    • 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論（上で展開済み）
• Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

  • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素

    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入

      • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • 特異値の比較✓補題 6.1・作用素不等式と積分作用素

      • ミニマックス原理✓定理 6.3・作用素の収束と摂動 この先をたどる →
      • ミニマックス値の単調性✓系 6.5・作用素の収束と摂動
  • Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素

    • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素（上で展開済み）
• トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

  • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
  • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
      • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定 この先をたどる →
      • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定 この先をたどる →
  • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 真空電荷とスペクトル流✓定理 5.5・外場 QED と Shale–Stinespring の定理

関連するノック 2 問

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