指数の安定性

定理 4.5（「Fredholm 理論」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ を Fredholm 作用素とする。

$K\in\mathcal{K}(X,Y)$ なら $T+K$ は Fredholm で $\mathrm{ind}(T+K)=\mathrm{ind}\,T$ 。
ある $\varepsilon>0$ があって、 $\|B\|<\varepsilon$ なら $T+B$ は Fredholm で $\mathrm{ind}(T+B)=\mathrm{ind}\,T$ 。
したがって、ノルム連続な道 $t\mapsto T_t$ （ $t\in[0,1]$ ）がすべて Fredholm なら、 $\mathrm{ind}\,T_t$ は一定である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 98 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Atkinson の定理✓定理 4.2・Fredholm 理論
- 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論
  - Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
  - 逆写像定理（有界逆定理）✓系 6.2・Banach 空間の基本定理
    開写像定理✓定理 6.1・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
    命題 2.4✓Banach 空間の基本定理
- Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論
  - Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
    Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  - 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論（上で展開済み）
  - Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  - Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算
    Riesz–Dunford の関数計算✓定理 6.2・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    閉作用素のレゾルベント✓補題 7.1・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    Hille の定理（閉作用素と積分の交換）✓定理 3.7・ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
  - 有限ランクの Riesz 射影と極✓命題 7.3・ベクトル値解析と関数計算
    Riesz 射影によるスペクトル分解✓定理 7.2・ベクトル値解析と関数計算（上で展開済み）
- 1 + コンパクトの指数は 0✓補題 4.3・Fredholm 理論（上で展開済み）
指数の積公式✓定理 4.4・Fredholm 理論
- Atkinson の定理✓定理 4.2・Fredholm 理論（上で展開済み）
1 + コンパクトの指数は 0✓補題 4.3・Fredholm 理論
- Riesz–Schauder の定理（証明つき）✓定理 3.1・Fredholm 理論（上で展開済み）
- 有限次元・有限余次元の部分空間✓補題 2.3・Fredholm 理論（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

射影の対の指数の性質✓命題 5.2・外場 QED と Shale–Stinespring の定理
Witten 指数の安定性✓定理 3.3・超対称量子力学と Witten 指数

指数の安定性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件